Sequências e Progressões Flashcards
O que é uma sequência?
É uma sequência de números específicos que satisfaz um critério específico.
Qual a definição de uma progressão aritmética de razão r?
É uma sequencia tal que o termo desejado é igual o termo anterior mais a razão.
De quantas maneiras eu posso classificar uma progressão?
Três.
Crescente: R > 0
Decrescente: R < 0
Estacionária: R = 0
Demonstre o termo geral de uma p.a.
Foi observado que o termo em questão é sempre o primeiro termo da p.a, somado com a quantidade de razão, que seria 1 unidade a menos do que o termo em questão.
Por que é interessante usar a fórmula do termo geral?
Pois quando o número em questão é muito alto, é inviável achar o seu antecessor e somar a razão.
Como Gaus deduziu a fórmula da soma de uma p.a?
Ele observou que soma dos termos equidistantes do centro é sempre constante, então ele multiplicou pela metade dos termos a serem somados, já que no final, dois termos iriam virar um.
Por que numa progressão aritmética, sempre que eu pego os termos equidistantes do centro a soma é constante?
Pois se colocarmos em função do termo geral cada termo, quando for somar o seu equivalente, sempre acharemos a mesma equação.
Qual é a soma de N números, sendo todos os números dessa sequência os números ímpares?
N ao quadrado.
Qual a definição de um progressão geométrica de uma razão q?
É uma sequencia tal que o termo desejado é igual o termo anterior multiplicado pela razão.
Como eu encontro a razão de uma p.a?
Faço a subtração do termo sucessor com o seu termo antecessor.
Como encontrar a razão de uma p.g?
Pego o termo sucessor e divido pelo seu antecessor.
Há alguma exceção em relação às 3 maneiras de classificar uma p.g?
Sim, quando a razão é negativa numa p.g., pois ela vai alternar o sinal.
Demonstre o termo geral de uma p.g.
Foi observado que o termo em questão é sempre o primeiro termo da p.g, multiplicao pela quantidade de razão, que seria 1 unidade a menos do que o termo em questão.
É possível encontrar um número qualquer numa pg, tendo somente dois termos dessa pg?
Sim, colocando os números conhecidos no termo geral e dividindo uma equação pela outra, eu encontro a razão, pois o “a1” vai cancelar. Sabendo a razão eu substituo em qualquer eq. de termo geral, pois eu acho o “a1”, e tendo o “a1” e a razão eu acho qualquer termo.
Qual o princípio usado para encontrar a soma dos termos de uma progressão geometrica?
Encontrar o infinito dentro do infinito. Multiplicado os dois lados da soma pelo inverso da razão eu consigo encontrar o infinito dentro da equação novamente.
(S/q = a1/q + S)
- Multiplico os dois lados por “q”
- Subtraio a soma infinita dos dois lados.
- e coloco em evidência.
É possível descobrir a soma de uma sequência de números infinitos?
Sim, quando ela é decrescente, com os critérios:
- 1 > q > 0
- a1 > 0
O que dizia o paradoxo de Zenão, no problema de Aquiles e a tartaruga?
Dizia que a cada um passo de Aquiles, a distância até a tartaruga era reduzida pela metade. Logo Aquiles nunca iria chegar na tartaruga, já que sempre faltará a outra metade. O que é um paradoxo, pois é uma soma de uma pg infinita decrescente, que é possível calcular.
Ex:
100 metros até a tartaruga
50 metros em 10s
Qual a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica finita?
Sn = a1 × (q^n - 1) / (q - 1)
É possível somar infinitos termos em uma pg em uma fórmula de soma finita?
Sim, desde que os critérios de uma soma infinita de pg seja satisfeita:
a1 > 0
1 > q > 0
- Elevando a razão infinitas vezes ela tende a ir a 0, ficando o “a1” multiplicado por “-1”
- E multiplicando em cima e em baixo por “-1”, chega-se na soma infinita de uma pg.
Como deduzir a fórmula da soma de uma pg finita?
A soma finita tem que ser igual a cada elemento individualmente somado junto, sendo cada elemento escrito na forma de termo geral. Multiplicado os dois lados pela razão, cada razão de cada termo vai somar um no expoente, fazendo com que a razão último termo que estaria elevado a “n - 1” fique “n”. Subtraindo a primeira equação da segunda, os termos vão se cancelar até o termo com q^(n-1). Sobrando:
q × Sn - Sn = a1 × q^(n) - a1
- Fatorando o “Sn” e o “a1” eu chego na formula da soma finita da pg.
Sn = a1 (q^(n) - 1) / (q - 1)
(EsSA 2020) Se (40, x, y, 5, …) é uma progressão
geométrica de razão q e (q, 8 – a, 7/2, …) é uma progressão
aritmética, determine o valor de a.
a) 8
b) 25/4
c) 23/4
d) 6
e) 7
(EEAr 2. 2016) Seja (a1, a2, a3, a4, a5, …) uma PG de termos
não nulos. Se 2(a2 + a4) = a3 + a5, pode-se afirmar
corretamente que a razão dessa PG é
a) 4
b) 2
c) ½
d) √2
(EEAr 1. 2017) As medidas, em cm, dos lados de um
pentágono estão em Progressão Aritmética (PA). Se o
perímetro desse polígono é 125 cm, o terceiro elemento da
PA é
a) 25
b) 30
c) 35
d) 40
(EEAr 1. 2019) As casas de uma rua foram numeradas em ordem crescente segundo as regras: os números formam uma P.A. de razão 5; cujo primeiro termo é 1; as casas à direita são ímpares e as à esquerda, pares. Assim, se Tiago mora na 3ª casa do lado esquerdo, o nº da casa dele é
a) 26
b) 31
c) 36
d) 41
(EEAr 2. 2020) Seja X o valor de uma moto no ato da
compra. A cada ano o valor dessa moto diminui 20% em relação ao seu valor do ano anterior. Dessa forma, o valor da moto no final do quinto ano, em relação ao seu valor de compra, será:
a) (0,8)4.X
b) (0,8)5.X
c) (2,4).X3
d) (3,2).X4
(EsSA 2012) Em uma progressão aritmética, o primeiro
termo é 5 e o décimo primeiro termo é 45. Pode-se afirmar
que o sexto termo é igual a
a) 15.
b) 21.
c) 25.
d) 29.
e) 35.
.
(EsSA 2014) Em um treinamento de condicionamento
físico, um soldado inicia seu primeiro dia correndo 800 m.
No dia seguinte corre 850 m. No terceiro 900 m e assim
sucessivamente até atingir a meta diária de 2.200 m. Ao
final de quantos dias, ele terá alcançado a meta?
a) 31
b) 29
c) 27
d) 25
e) 23
(EsSA 2016) Em uma Progressão Aritmética com 6 termos,
temos que a soma de seus termos é igual a 102 e seu último
termo é 27. Com base nessas informações, a razão dessa
progressão é:
a) 3
b) 5
c) 11
d) 4
e) 7
(EsSA 2016) Em uma progressão aritmética cujo primeiro
termo é 1,87 e a razão é 0,004, temos que a soma dos seus
dez primeiros é igual a:
a) 18,88
b) 9,5644
c) 9,5674
d) 18,9
e) 18,99
(EsSA 2018) Em uma Progressão Aritmética, o décimo
termo vale 16 e o nono termo é 6 unidades maior do que o
quinto termo. Logo, o décimo segundo termo vale:
a) 16,5.
b) 19,5.
c) 19,0.
d) 17,0.
e) 17,5
(EsSA 2021) Numa PA crescente, os seus dois primeiros
termos são as raízes da equação x² - 11x + 24 = 0. Sabendo
que o número de termos dessa PA é igual ao produto dessas
raízes, então a soma dos termos dessa progressão é igual a:
a) 1.200
b) 1.100
c) 1.350
d) 1.452
e) 1.672
(EEAr 1. 2016) Considere esses quatro valores x, y, 3x, 2y
em PA crescente. Se a soma dos extremos é 20, então o
terceiro termo é
a) 9
b) 12
c) 15
d) 18
(EEAr 1. 2017) Seja a PG (a1, a2, a3, a4, …) de razão q = 2.
Se a1 + a5 = 272, o valor de a1 é
a) 8
b) 6
c) 18
d) 16
(EEAr 2. 2017) Os quatro primeiros termos da sequência
definida por an = (−1)n
. n + 1, n *, são tais que
a) formam uma PA de razão 4
b) formam uma PG de razão 2
c) a1 + a3 = a2 + a4
d) a1 + a2 = a3 + a4
(EEAr 2. 2017) O 6º termo da sequência 2, 8, 32, 128, … é
um número cuja soma dos algarismos é
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
(EEAr 2. 2018) Dada a equação 20x + 10x + 5x + … = 5,
em que o primeiro membro representa a soma dos termos
de uma progressão geométrica infinita, o valor de 1/x é
a) 12
b) 10
c) 8
d) 5
(EEAr 1. 2019) As casas de uma rua foram numeradas em
ordem crescente segundo as regras: os números formam
uma P.A. de razão 5; cujo primeiro termo é 1; as casas à
direita são ímpares e as à esquerda, pares. Assim, se Tiago
mora na 3ª casa do lado esquerdo, o nº da casa dele é
a) 26
b) 31
c) 36
d) 41
(EEAr 2. 2019) Se 1/x é o 8º elemento da P.G. (9, 3, 1, …),
então o valor de x é
a) 27
b) 81
c) 243
d) 729
(EEAr 2. 2019) Para se preparar para uma competição,
João passará a ter a seguinte rotina diária de treinos: no
primeiro dia correrá 5 km e, a partir do segundo dia, correrá
200 m a mais do que correu no dia anterior. Assim, a
distância total que João correu nos 10 primeiros dias de
treino foi de ________ km.
a) 56,4
b) 57,8
c) 59,0
d) 60,2
(EEAr 1. 2020) Uma folha de papel quadrada passa por 4
etapas de cortes:
1ª - dividindo a folha em 4 quadrados iguais;
2ª - dividindo cada quadrado resultante da 1ª etapa em 4
quadrados iguais;
3ª - dividindo cada quadrado resultante da 2ª etapa em 4
quadrados iguais; e
4ª - dividindo cada quadrado resultante da 3ª etapa em 4
quadrados iguais.
Após a 4ª etapa tem-se _______ quadrados.
a) 32
b) 64
c) 128
d) 256
