Sequências e Progressões

Question 1

O que é uma sequência?

Answer 1

É uma sequência de números específicos que satisfaz um critério específico.

Question 2

Qual a definição de uma progressão aritmética de razão r?

Answer 2

É uma sequencia tal que o termo desejado é igual o termo anterior mais a razão.

Question 3

De quantas maneiras eu posso classificar uma progressão?

Answer 3

Três.
Crescente: R > 0
Decrescente: R < 0
Estacionária: R = 0

Question 4

Demonstre o termo geral de uma p.a.

Answer 4

Foi observado que o termo em questão é sempre o primeiro termo da p.a, somado com a quantidade de razão, que seria 1 unidade a menos do que o termo em questão.

Question 5

Por que é interessante usar a fórmula do termo geral?

Answer 5

Pois quando o número em questão é muito alto, é inviável achar o seu antecessor e somar a razão.

Question 6

Como Gaus deduziu a fórmula da soma de uma p.a?

Answer 6

Ele observou que soma dos termos equidistantes do centro é sempre constante, então ele multiplicou pela metade dos termos a serem somados, já que no final, dois termos iriam virar um.

Question 7

Por que numa progressão aritmética, sempre que eu pego os termos equidistantes do centro a soma é constante?

Answer 7

Pois se colocarmos em função do termo geral cada termo, quando for somar o seu equivalente, sempre acharemos a mesma equação.

Question 8

Qual é a soma de N números, sendo todos os números dessa sequência os números ímpares?

Answer 8

N ao quadrado.

Question 9

Qual a definição de um progressão geométrica de uma razão q?

Answer 9

É uma sequencia tal que o termo desejado é igual o termo anterior multiplicado pela razão.

Question 10

Como eu encontro a razão de uma p.a?

Answer 10

Faço a subtração do termo sucessor com o seu termo antecessor.

Question 11

Como encontrar a razão de uma p.g?

Answer 11

Pego o termo sucessor e divido pelo seu antecessor.

Question 12

Há alguma exceção em relação às 3 maneiras de classificar uma p.g?

Answer 12

Sim, quando a razão é negativa numa p.g., pois ela vai alternar o sinal.

Question 13

Demonstre o termo geral de uma p.g.

Answer 13

Foi observado que o termo em questão é sempre o primeiro termo da p.g, multiplicao pela quantidade de razão, que seria 1 unidade a menos do que o termo em questão.

Question 14

É possível encontrar um número qualquer numa pg, tendo somente dois termos dessa pg?

Answer 14

Sim, colocando os números conhecidos no termo geral e dividindo uma equação pela outra, eu encontro a razão, pois o “a1” vai cancelar. Sabendo a razão eu substituo em qualquer eq. de termo geral, pois eu acho o “a1”, e tendo o “a1” e a razão eu acho qualquer termo.

Question 15

Qual o princípio usado para encontrar a soma dos termos de uma progressão geometrica?

Answer 15

Encontrar o infinito dentro do infinito. Multiplicado os dois lados da soma pelo inverso da razão eu consigo encontrar o infinito dentro da equação novamente.
(S/q = a1/q + S)
- Multiplico os dois lados por “q”
- Subtraio a soma infinita dos dois lados.
- e coloco em evidência.

Question 16

É possível descobrir a soma de uma sequência de números infinitos?

Answer 16

Sim, quando ela é decrescente, com os critérios:
- 1 > q > 0
- a1 > 0

Question 17

O que dizia o paradoxo de Zenão, no problema de Aquiles e a tartaruga?

Answer 17

Dizia que a cada um passo de Aquiles, a distância até a tartaruga era reduzida pela metade. Logo Aquiles nunca iria chegar na tartaruga, já que sempre faltará a outra metade. O que é um paradoxo, pois é uma soma de uma pg infinita decrescente, que é possível calcular.
Ex:
100 metros até a tartaruga
50 metros em 10s

Question 18

Qual a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica finita?

Answer 18

Sn = a1 × (q^n - 1) / (q - 1)

Question 19

É possível somar infinitos termos em uma pg em uma fórmula de soma finita?

Answer 19

Sim, desde que os critérios de uma soma infinita de pg seja satisfeita:
a1 > 0
1 > q > 0
- Elevando a razão infinitas vezes ela tende a ir a 0, ficando o “a1” multiplicado por “-1”
- E multiplicando em cima e em baixo por “-1”, chega-se na soma infinita de uma pg.

Question 20

Como deduzir a fórmula da soma de uma pg finita?

Answer 20

A soma finita tem que ser igual a cada elemento individualmente somado junto, sendo cada elemento escrito na forma de termo geral. Multiplicado os dois lados pela razão, cada razão de cada termo vai somar um no expoente, fazendo com que a razão último termo que estaria elevado a “n - 1” fique “n”. Subtraindo a primeira equação da segunda, os termos vão se cancelar até o termo com q^(n-1). Sobrando:
q × Sn - Sn = a1 × q^(n) - a1
- Fatorando o “Sn” e o “a1” eu chego na formula da soma finita da pg.

Sn = a1 (q^(n) - 1) / (q - 1)

Question 21

(EsSA 2020) Se (40, x, y, 5, …) é uma progressão
geométrica de razão q e (q, 8 – a, 7/2, …) é uma progressão
aritmética, determine o valor de a.
a) 8
b) 25/4
c) 23/4
d) 6
e) 7

Question 22

(EEAr 2. 2016) Seja (a1, a2, a3, a4, a5, …) uma PG de termos
não nulos. Se 2(a2 + a4) = a3 + a5, pode-se afirmar
corretamente que a razão dessa PG é
a) 4
b) 2
c) ½
d) √2

Question 23

(EEAr 1. 2017) As medidas, em cm, dos lados de um
pentágono estão em Progressão Aritmética (PA). Se o
perímetro desse polígono é 125 cm, o terceiro elemento da
PA é
a) 25
b) 30
c) 35
d) 40

Question 24

(EEAr 1. 2019) As casas de uma rua foram numeradas em ordem crescente segundo as regras: os números formam uma P.A. de razão 5; cujo primeiro termo é 1; as casas à direita são ímpares e as à esquerda, pares. Assim, se Tiago mora na 3ª casa do lado esquerdo, o nº da casa dele é
a) 26
b) 31
c) 36
d) 41

Question 25

(EEAr 2. 2020) Seja X o valor de uma moto no ato da compra. A cada ano o valor dessa moto diminui 20% em relação ao seu valor do ano anterior. Dessa forma, o valor da moto no final do quinto ano, em relação ao seu valor de compra, será: a) (0,8)4.X b) (0,8)5.X c) (2,4).X3 d) (3,2).X4

Question 26

(EsSA 2012) Em uma progressão aritmética, o primeiro termo é 5 e o décimo primeiro termo é 45. Pode-se afirmar que o sexto termo é igual a a) 15. b) 21. c) 25. d) 29. e) 35. .

Question 27

(EsSA 2014) Em um treinamento de condicionamento físico, um soldado inicia seu primeiro dia correndo 800 m. No dia seguinte corre 850 m. No terceiro 900 m e assim sucessivamente até atingir a meta diária de 2.200 m. Ao final de quantos dias, ele terá alcançado a meta? a) 31 b) 29 c) 27 d) 25 e) 23

Question 28

(EsSA 2016) Em uma Progressão Aritmética com 6 termos, temos que a soma de seus termos é igual a 102 e seu último termo é 27. Com base nessas informações, a razão dessa progressão é: a) 3 b) 5 c) 11 d) 4 e) 7

Question 29

(EsSA 2016) Em uma progressão aritmética cujo primeiro termo é 1,87 e a razão é 0,004, temos que a soma dos seus dez primeiros é igual a: a) 18,88 b) 9,5644 c) 9,5674 d) 18,9 e) 18,99

Question 30

(EsSA 2018) Em uma Progressão Aritmética, o décimo termo vale 16 e o nono termo é 6 unidades maior do que o quinto termo. Logo, o décimo segundo termo vale: a) 16,5. b) 19,5. c) 19,0. d) 17,0. e) 17,5

Question 31

(EsSA 2021) Numa PA crescente, os seus dois primeiros termos são as raízes da equação x² - 11x + 24 = 0. Sabendo que o número de termos dessa PA é igual ao produto dessas raízes, então a soma dos termos dessa progressão é igual a: a) 1.200 b) 1.100 c) 1.350 d) 1.452 e) 1.672

Question 32

(EEAr 1. 2016) Considere esses quatro valores x, y, 3x, 2y em PA crescente. Se a soma dos extremos é 20, então o terceiro termo é a) 9 b) 12 c) 15 d) 18

Question 33

(EEAr 1. 2017) Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ...) de razão q = 2. Se a1 + a5 = 272, o valor de a1 é a) 8 b) 6 c) 18 d) 16

Question 34

(EEAr 2. 2017) Os quatro primeiros termos da sequência definida por an = (−1)n . n + 1, n  *, são tais que a) formam uma PA de razão 4 b) formam uma PG de razão 2 c) a1 + a3 = a2 + a4 d) a1 + a2 = a3 + a4

Question 35

(EEAr 2. 2017) O 6º termo da sequência 2, 8, 32, 128, ... é um número cuja soma dos algarismos é a) 10 b) 12 c) 14 d) 16

Question 36

(EEAr 2. 2018) Dada a equação 20x + 10x + 5x + ... = 5, em que o primeiro membro representa a soma dos termos de uma progressão geométrica infinita, o valor de 1/x é a) 12 b) 10 c) 8 d) 5

Question 37

(EEAr 1. 2019) As casas de uma rua foram numeradas em ordem crescente segundo as regras: os números formam uma P.A. de razão 5; cujo primeiro termo é 1; as casas à direita são ímpares e as à esquerda, pares. Assim, se Tiago mora na 3ª casa do lado esquerdo, o nº da casa dele é a) 26 b) 31 c) 36 d) 41

Question 38

(EEAr 2. 2019) Se 1/x é o 8º elemento da P.G. (9, 3, 1, ...), então o valor de x é a) 27 b) 81 c) 243 d) 729

Question 39

(EEAr 2. 2019) Para se preparar para uma competição, João passará a ter a seguinte rotina diária de treinos: no primeiro dia correrá 5 km e, a partir do segundo dia, correrá 200 m a mais do que correu no dia anterior. Assim, a distância total que João correu nos 10 primeiros dias de treino foi de ________ km. a) 56,4 b) 57,8 c) 59,0 d) 60,2

Question 40

(EEAr 1. 2020) Uma folha de papel quadrada passa por 4 etapas de cortes: 1ª - dividindo a folha em 4 quadrados iguais; 2ª - dividindo cada quadrado resultante da 1ª etapa em 4 quadrados iguais; 3ª - dividindo cada quadrado resultante da 2ª etapa em 4 quadrados iguais; e 4ª - dividindo cada quadrado resultante da 3ª etapa em 4 quadrados iguais. Após a 4ª etapa tem-se _______ quadrados. a) 32 b) 64 c) 128 d) 256