Polinômios

Question 1

Como ocorre uma soma/subtração entre polinômios?

Answer 1

Operando os coeficientes de termos equivalentes.

Question 2

Qual a propriedade para efetuar multiplicação entre polinômios?

Answer 2

Distributiva.

Question 3

Qual o grau do polinômio resultante de uma multiplicação de um polinômio de grau n por um polinômio m?

Answer 3

Grau n+m

Question 4

Na divisão euclidiana, encerra a divisão quando o resto é menor que o divisor, quando encerra a divisão no caso de polinômios?

Answer 4

Quando o grau do resto é menor que o grau do divisor.

Question 5

Como saber se um polinômio é divisível por outro polinômio?

Answer 5

Quando o resto dessa divisão é 0.

Question 6

Quais são os 3 métodos para dividir polinômios?

Answer 6

• Método da Chave.
• Método de Descartes.
• Algoritmo de Briot-Ruffini.

Question 7

Como funciona o método da Chave em uma divisão de polinômios?

Answer 7

• Análoga à divisão euclidiana, pega o termo de maior grau do polinômio e divide pelo termo de maior grau do divisor, esse termo resultante fica no quociente. Depois, multiplico esse quociente pelo divisor e troco o sinal e efetuando a respectiva operação. Esse algoritmo é repetido até o grau do resto ser menor que o grau do divisor.

Question 8

Como funciona o método de Descartes em uma divisão de polinômios?

Answer 8

Vamos encontrar cada polinômio da divisão encontrando o coeficiente pelos respectivos graus. Ou seja, descobre-se qual o grau de cada polinômio na divisão e, escreve esse polinômio na forma básica, por último aplica a definição de divisão e faz um sistema.

Question 9

Quando utilizar o algoritmo de Briot-Ruffini para dividir um polinômio?

Answer 9

Quando o divisor desse polinômio for do formato x-a.

Question 10

Resuma o algoritmo de Briot-Ruffini.

Answer 10

Determine/coloque a raiz do divisor em uma linha e ao lado os coeficientes do polinômio. Abaixe o primeiro coeficiente, multiplique pela raiz do divisor e efetue a operação (soma ou subtração) com o próximo coeficiente do polinômio. O maior grau do quociente é colocado da esquerda para a direita, sendo o último coeficiente do quociente o resto.

Question 11

O que acontece quando o polinômio divisor é do tipo ax+b no algoritmo de Briot-Ruffini?

Answer 11

É só efetuar normalmente o algoritmo e dividir todos os coeficientes por “a” no final.

Question 12

O que diz o teorema do resto?

Answer 12

Diz que o resto de uma divisão de polinômios é igual ao valor numérico do polinômio P(x) quando x é a raiz do divisor.

Question 13

Resuma o teorema do resto.

Answer 13

Colocando a raiz do divisor d(x) para X em um polinômio P(x), encontra-se o resto.

Question 14

Em uma divisão de polinômios em que o divisor é do formato ax+b, como determinar o resto?

Answer 14

Encontrando o valor numérico de um polinômio P(x) sendo x = -b/a.

Question 15

Por que o teorema do resto funciona?

Answer 15

Pois aplicando o valor da raiz do divisor no divisor a multiplicação fica nula sobrando o resto.

Question 16

O que diz o teorema de D’Alembert?

Answer 16

Que se um polinômio p(x) é divisível por ax+b, se, e somente se, p(-b/a) =0.

Question 17

O que diz o Teorema Fundamental da Álgebra?

Answer 17

Que um polinômio de grau “n”, possui “n” raízes complexas.

Question 18

Dado que as raízes de um polinômio do segundo grau são 2 e 3, é possível afirmar que essas são raízes complexas?

Answer 18

Sim, pois o conjunto dos complexos contém todos os reais. Nesse caso a parte imaginaria é nula.

Question 19

O que o teorema da raiz conjugada diz?

Answer 19

Diz que se um polinômio possui todos os coeficientes sendo reais e, tiver uma raiz Z (complexa), Z/ também será raiz (conjugado do complexo).

Question 20

Qual é a possível afirmação a ser feita para um polinômio que:
• Possui os seus coeficientes reais
• Tem o seu maior grau ímpar?

Answer 20

Pelo menos uma raiz é real.

Por exemplo, sabendo que os coeficientes são reais, já sabemos que se ele possui uma raiz complexa, ele terá outra que será conjugada, então no caso de um polinômio de grau 5, 4 serão complexas (Z, Z/, W e W/) e 1 real com sua parte imaginaria nula, pois se fosse diferente de zero, teria um respectivo conjulgado.

Question 21

Quando eu quero chutar possíveis valores para encontrar as raízes de um polinômio, qual teorema é pode ser usado?

Answer 21

Teorema da raiz racional.

Question 22

O que diz o teorema da raiz racional?

Answer 22

Que a possível raiz racional de um polinômio, pode ser encontrada a partir da divisão feita pelos divisores do termo independente com o termo de maior grau.

______________________________________
EXEMPLO:

P(x) = 2x^2 - 12x + 10
div(10) = {+-1, +-2, +-5, +-10}
div(2) = {+-1, +-2}

X1 = 10/2 = 5
P(5) = 2x^2 - 12x + 10
P(5) = 2(5)^2 - 12(5) + 10
P(5) = 0

X2 = 1/1 = 1
P(1) = 2(1)^2 - 12(1) + 10
P(1) = 0

Question 23

(EsSA 2014) Sendo o polinômio P(x) = x3 + 3x2 + ax + b
um cubo perfeito, então a diferença a − b vale:
a) 3
b) 2
c) 1
d) 0
e) -1

Question 24

(EsSA 2020) - Dado o polinômio p(x) = 4x⁴ + 3x⁵ – 5x + x²
+ 2. Analise as informações a seguir:
I. O grau de p(x) é 5.
II. O coeficiente de x³ é zero.
III. O valor numérico de p(x) para x = -1 é 9.
IV. Um polinômio q(x) é igual a p(x) se, e somente se,
possui mesmo grau de p(x) e os coeficientes são iguais.
É correto o que se afirma em:
a) I, II e III apenas
b) II, III e IV apenas
c) I, II, III e IV
d) I e II apenas
e) III e IV apenas

Question 25

(EsPCEx 2014) A função f: IR→ IR definida por f(x) =
x4 – 5x3 + 5x2 + 5x – 6 tem como algumas de suas raízes os números -1 e 1. Assinale a alternativa que representa o conjunto de todos os números reais para os quais a função f
(x) é positiva.
a) (- ∞, -1) U (0 , 1)
b) (- ∞, -1) U (2, + ∞)
c) (− ∞, −1) U (−1/2, 1/2) U (2, + ∞)
d) (− ∞, −3) U (1/2, 2) U(5/2, + ∞)
e) (- ∞, -1) U (1, 2) U (3, + ∞)

Question 26

(EsSA 2013) Para que o polinômio do segundo grau A(x) = 3x2- bx + c, com c > 0 seja o quadrado do polinômio B(x) = mx + n,é necessário que
a) b^2 = 4c
b) b^2 = 12c
c) b^2 = 12
d) b^2 = 36c
e) b^2 = 36

Question 27

(EsSA 2014) Sendo o polinômio P(x) = x3 + 3x2 + ax + b
um cubo perfeito, então a diferença a − b vale:
a) 3
b) 2
c) 1
d) 0
e) -1

Question 28

(EsSA 2016) O grau do polinômio (4x – 1). (x2 – x – 3). (x
+ 1) é:
a) 6
b) 5
c) 3
d) 4
e) 2

Question 29

(EEAr 1. 2016) Considere P(x) = 2x³ + bx² + cx, tal que
P(1) = - 2 e P(2) = 6 . Assim, os valores de b e c são,
respectivamente,
a) 1 e 2
b) 1 e -2
c) -1 e 3
d) -1 e -3

Question 30

(EEAr 2. 2016) Ao dividir 3x3 + 8x2 + 3x + 4 por x2 + 3x + 2 obtém-se _____ como resto.
a) 6
b) 5
c) 4
d) 3

Question 31

(EEAr 2. 2017) Sejam os polinômios A(x) = x3 + 2x2 – x –
4, B(x) = ax3 – bx2 – 4x + 1 e P(x) = A(x) – B(x). Para que
P(x) seja de grau 2, é necessário que (=/ significa diferente)
a) a =/ –1 e b = –2
b) a = 1 e b = –2
c) a = 1 e b  –2
d) a =/ 1 e b  2

Question 32

(EEAr 2. 2019) Se Q(x) = ax^2 + bx + c é o quociente da
divisão de G(x) = 6x^3 − 5x^2 + 7x − 4 por H(x) = x − 1,
então o valor de b + c é
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9

Question 33

(EEAr 2. 2020) Dados os polinômios P(x) = x^2 + ax – 3b e Q(x) = -x^3 + 2ax - b, ambos divisíveis por (x – 1), então a
soma a + b é:
a) 1/3
b) 2/3
c) 3/4
d) 7/5

Question 34

(EEAr 1. 2021) Sejam A e B os restos das divisões de P(x) = x3 – 3x2 – 4x + 6 por, respectivamente, x + 2 e x − 3. Desta forma, pode-se afirmar que
a) A = B
b) A = 2B
c) B = 2A
d) A = −B

Question 35

(EEAr 2. 2021) Sabe-se que os polinômios A(x) e B(x) têm grau 4 e que P(x) = A(x). B(x) e T(x) = A(x) + B(x) são
polinômios não nulos. Assim, pode-se afirmar que os graus de P(x) e T(x) são, respectivamente, ____ e menor ou igual a ____.
a) 4; 8
b) 8; 8
c) 4; 4
d) 8; 4

Question 36

(EsPCEx 2011) Os polinômios A(x) e B(x) são tais que
A(x) = B(x) + 3x^3 +2x^2 + x + 1. Sabendo-se que -1 é raiz de A(x) e 3 é raiz de B(x), então A(3) – B(-1) é igual a:
a) 98
b) 100
c) 102
d) 103
e) 105

Question 37

(EsPCEx 2014) O polinômio f(x) = x^5 – x^3 + x2 + 1, quando dividido por q(x) = x^3 - 3x + 2 deixa resto r(x). Sabendo disso, o valor numérico de r(-1) é
a) -10.
b) -4.
c) 0.
d) 4.
e) 10.

Question 38

(EsPCEx 2015) Sendo R a maior das raízes da equação
(11x + 6/x − 4) = x^2
, então o valor de 2R-2 é
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10