bewijzen + stellingen + eigenschappen

Question 1

wat is de stelling van het nulpunt met de continuïteit

Answer 1

als f continu is in [a, b] en f(a) * f(b) < 0 dan is er een c ∈ [a, b] waarvoor f(c) = 0 => c = nulpunt

Question 2

wat is de hoofdeigenschap van de continuïteit

Answer 2

als f continu is in [a, b] dan is de beeldverzameling daarvan één gesloten en begrensd interval

Question 3

bewijs van de constante van een primitieve functie

Answer 3

F’(x) = f(x) en G’(x) = f(x)

=> G’(x)-F’(x) = 0

<=> (G(x)-F(x))’ = 0

<=> G(x)-F(x) = constant

<=> G(x) = F(x) + constant

Question 4

wanneer heb je een absoluut min en max van een functie

Answer 4

absoluut max in een punt c ∈ dom f indien voor elke x ∈ dom f geldt: f(x)≤f(c)

abs min: idem alleen f(x)≥f(c)

Question 5

wanneer heb je een relatief min en max van een functie

Answer 5

relatief max in een punt c ∈ dom f indien er een open interval I rond c bestaat waarvoor voor elke x ∈ I geldt: f(x)≤f(c)

rel. min: idem alleen f(x)≥f(c)

Question 6

wat is de stelling van fernat

Answer 6

als de functie een relatief extremum bereikt in een punt c ∈ ]a,b[ en als de f’(c) bestaat dan is f’(c) = 0

Question 7

geef het bewijs van fernat

geg: f bereik rel max in c ∈ ]a,b[ => er bestaat open interval rond c, I => voor elke x ∈ I <=> f(x)≤f(c)

en f’(c) bestaat

TB: relatief max

Answer 7

zie cursus

Question 8

wat zegt de stelling van Rolle + grafiek

Answer 8

als f cont. is in [a,b] en afleidbaar in ]a,b[en f(a) = f(b) dan besstaat er een getal c ∈]a,b[ waarvoor geldt: f’(c) = 0

rico tussen a en b = 0 = f’(c) op de grafiek

Question 9

wat zegt de stelling van Lagrange

Answer 9

als f cont. is in [a,b] en afleidbaar in ]a,b[dan besstaat er een getal c ∈]a,b[ waarvoor geldt:

f’(c) = (f(b)-f(a))/(b-a)

rico tussen a en b = f’(c) op de grafiek

Question 10

geef het bewijs van lagrange

geg: f continu in [a,b] + afleidbaar in ]a,b[

TB: f’(c) = (f(b)-f(a))/(b-a)

Answer 10

zie p80 in boek

Question 11

geef het bewijs van de middelwaardestelling van de bepaalde integraal met deze geg.

Answer 11

zie cursus

Question 12

geef het bewijs van de eerste hoofdstelling van de bepaalde integraal met deze gegevens

Answer 12

zie cursus

Question 13

geef het bewijs van de tweede hoofdstelling van de bepaalde integraal met deze gegevens

Answer 13

Question 14

formule differentiaal (1 veranderlijke)

Answer 14

y-f(a) = f’(a)(x-a)

Question 15

formule differentiaal (2 veranderlijken)

Answer 15

df(x,y) = f’_x(x,y)dx + f’_y(x,y)dy

Question 16

benadering voor f(x) mbv raaklijn of de differentiaal (1 veranderlijke)

Answer 16

f(x) ≈ f(a) + f’(a)(x-a)

Question 17

benadering voor f(x,y) mbv raaklijn of de differentiaal (2 veranderlijken)

Answer 17