Vorlesung 3

Question 1

Definieren Sei die Grundgesamtheit (Population). Wie heißen die Merkmale der Population?

Answer 1

Alle potenziell untersuchbaren Einheiten (Personen oder Objekte), die ein gemeinsames Merkmal oder Merkmalsmuster aufweisen (z.B. alle Grundschülerinnen und Grundschüler in Deutschland, alle 8-jährigen Kinder in Berlin)

→ Beschreibung anhand von Parametern (Mittelwertsparameter μ, Standardabweichungsparameter σ)

• Merkmale der Population heißen Parameter (Bsp. Mittelwert, Standardabweichung) und sind unbekannt. Sie können nicht eindeutig bestimmt werden, sondern müssen aus Stichprobenkennwerten geschätzt werden, wobei die Schätzung unpräzise sein kann.
• Für Populationsparameter werden daher Standardfehler angegeben, um die Größe der Unsicherheit zu bestimmen (für Stichprobenkennwerte nicht)

Question 2

Definieren Sie Stichprobe. Wie heißen Merkmale der der Stichprobe?

Answer 2

• Teilmenge einer Grundgesamtheit (z.B. 500 Schülerinnen und Schüler aus Grundschulen in Deutschland)
• Beschreibung anhand von statistischen Kennwerten (Mittelwert x oder M, Standardabweichung s)
• Merkmale der Stichprobe heißen Kennwerte (Bsp. Mittelwert, Standardabweichung) und sind bekannt.
• Eine akkurate Messung vorausgesetzt, können sie eindeutig bestimmt werden.

Question 3

Definieren sie Normalverteilung?

Answer 3

• Ihre Bedeutung ergibt sich daraus, dass viele der in den Sozialwissenschaften gemessenen Merkmale sowie wichtige statistische Kennwerte annähernd normalverteilt sind.

Question 4

Nennen Eigenschaften der Normalverteilung?

Answer 4

• Nur metrische Variablen (Intervallskala, Verhältnisskala) können normalverteilt sein.
• Die Verteilung ist glockenförmig.
• Die Verteilung ist symmetrisch.
• Modalwert, Median und arithmetisches Mittel fallen zusammen.
• Die Verteilung nähert sich asymptotisch der x-Achse.
• Zwischen den Wendepunkten der Verteilung (eine Standardabweichung über und unter dem Mittelwert) liegen rund 68 % der Fälle.
• Zwischen den Punkten, die zwei Standardabweichungen vom Mittelwert entfernt sind, liegen rund 95 % der Fälle.

Question 5

Beschreiben Sie die Standardnormalverteilung.

Answer 5

z-Verteilung

• Alle Normalverteilungen lassen sich in eine einheitliche Verteilung – die Standardnormalverteilung – transformieren.
• Dieser Vorgang nennt sich z-Transformation.
• Die Standardnormalverteilung hat den Mittelwert 0 und die Standardabweichung 1.
• Durch die z-Transformation werden verschiedene Normalverteilungen miteinander vergleichbar.
• Die Standardnormalverteilung spielt bei der Normierung von Tests und bei der Interpretation der Testwerte einzelner Personen eine zentrale Rolle. Mittelwert = 0 und Standardabweichung = 1
• Jede Normalverteilung kann durch eine z-Transformation in eine Standardnormalverteilung überführt werden.
• x_i= Messwert einer Person
• µ = Mittelwert der Verteilung
• σ= Streuung der Verteilung
• Da bei der Standardnormalverteilung die Streuung = 1 ist, handelt es sich bei z-Werten um Einheiten der Standardabweichung.
• Ein z = 0 bedeutet, dass der Messwert der jeweiligen Person dem Mittelwert entspricht.
• Ein z = 1,29 bedeutet, dass der Messwert der jeweiligen Person 1,29 Standardabweichungen über dem Mittelwert liegt.
• Ein z = -1,0 bedeutet, dass der Messwert der jeweiligen Person genau eine Standardabweichung unter dem Mittelwert liegt.

Question 6

Beschreiben Sie die Transformation der IQ-Werte.

Answer 6

• IQ-Werte werden häufig für die Normierung von Intelligenztests verwendet.
• „IQ“ ist in diesem Zusammenhang der Name einer Normskala. Kennwerte der IQ-Skala:
  
  • Mittelwert = 100
  • Standardabweichung = 15
• Vorgehen bei Berechnung:
• Test-/Rohwert z-standardisieren
• z-Wert in IQ-Skalenwert überführen
• Bei der Transformation von Rohwerten in IQ-Werte handelt es sich also um eine lineare Transformation.

Question 7

Beschreiben Sie die Transformation der T-Werte.

Answer 7

• T-Werte werden häufig für die Normierung von standardisierten Schulleistungstests und anderen Leistungstests verwendet.
• Kennwerte der T-Skala:
  
  • Mittelwert = 50
  • Standardabweichung = 10
• Vorgehen bei Berechnung:
  
  • Test-/Rohwert z-standardisieren
  • z-Wert in T-Wert überführen
  • Die Transformation von Rohwerten in T-Werte ist ebenfalls eine lineare Transformation.
  • T_i = z_i · 10 + 50

Question 8

Beschreiben Sie Streudiagramm.

Answer 8

• Die Verteilung zweier metrischer Variablen kann durch ein Streudiagramm graphisch dargestellt werden.
• Das Streudiagramm ermöglicht einen visuellen Eindruck von der Beziehung zwischen zwei Variablen, wobei in den Sozialwissenschaften so gut wie keine perfekten, sondern nur „stochastische“ (vom Zufall beeinflusste) Zusammenhänge zu finden sind.
• Es kann ein Trend innerhalb von Grafen erkannt werden.
• Durch Inspektion des Streudiagramms kann nun schon etwas über die Verteilung der Variablen ausgesagt werden:
  
  • Offensichtlich besteht ein Trend in dieser Verteilung: Je höher der sozioökonomische Hintergrund einer Schülerin oder eines Schülers, desto besser ist in der Tendenz auch seine/ihre Leseleistung.
  • Der Zusammenhang ist aber nicht perfekt. Ein Kennwert, mit dem ein solcher „Trend“ quantifiziert werden kann, ist die Korrelation. Um die konzeptuelle Bedeutung der Korrelation zu illustrieren, werden in das Diagramm die Mittelwerte von „Leseleistung“ und „sozioökonomischer Hintergrund“ als Bezugslinien eingezeichnet. Sie teilen das Diagramm in vier Quadrant

Question 9

Nennen sie einen Kennwert mit dem ein Trend eines Streudiagramms.

Answer 9

• Ein Kennwert, mit dem ein solcher „Trend“ quantifiziert werden kann, ist die Korrelation.
• Um die konzeptuelle Bedeutung der Korrelation zu illustrieren, werden in das Diagramm die Mittelwerte von „Leseleistung“ und „sozioökonomischer Hintergrund“ als Bezugslinien eingezeichnet.
• Sie teilen das Diagramm in vier Quadranten.

Question 10

Beschreiben sie den Korrelationskoeffizient “r”.

Answer 10

• r ist ein standardisiertes Maß und kann Zahlenwerte zwischen -1 und 1 annehmen:
  
  • r = 1: perfekter positiver Zusammenhang zwischen x und y
  • r = -1: perfekter negativer Zusammenhang zwischen x und y
  • r = 0: kein Zusammenhang zwischen x und y
• r kann direkt als sog. Effektmaß interpretiert werden, d.h. r gibt auch Auskunft über die praktische Relevanz des gefundenen Zusammenhangs zwischen zwei Variablen.
• Konventionen von Cohen (1988):
  
  • r = 0,10 → „kleiner Effekt“
  • r = 0,30 → „mittlerer Effekt“
  • r = 0,50 → „großer Effekt“