Vecteurs, calcul intégral et équations différentielles Flashcards
Par quoi est caractérisé un vecteur ?
Sa direction, son sens, sa norme (et son origine)
Qu’est-ce qu’un vecteur lié ?
C’est un vecteur dont l’origine est fixée
Qu’est ce qu’un vecteur glissant ?
C’est un vecteur où la droite de support est fixée
Qu’est ce qu’un vecteur libre ?
C’est un vecteur où ni la droite de support, ni l’origine ne sont fixées
Qu’est ce qui forme une base ?
Trois vecteurs non coplanaires
Quelles sont les coordonnées du vecteur somme de deux vecteurs ?
C’est la somme des coordonnées des deux vecteurs
Quelles sont les coordonnées du produit d’un réel avec un vecteur ?
C’est le produit du réel avec chacune de ces coordonnées
Quel est le produit scalaire de
Que signifie un produit scalaire nul, en considérant que les vecteurs sont non nuls ?
Les vecteurs sont orthogonaux
Que vaut le carré scalaire ?
Donc que vaut le cosinus formé par deux vecteurs en fonction du produit scalaire ?
Lors d’une projection orthogonale d’un vecteur sur la droite de direction de l’autre que vaut le module de cette projection ?
Qu’est ce qu’un produit vectoriel ?
C’est un vecteur orthogonal au plan formé par les deux vecteurs du produit vectoriel
Comment est noté un produit vectoriel ?
Que vaut la norme du produit vectoriel ?
Elle est égale à l’aire du parallélogramme formé par les deux vecteurs
Qu’est ce que le produit mixte de trois vecteurs ?
C’est le produit scalaire d’un vecteur avec le produit vectoriel des deux autres
Que vaut le résultat du produit mixte de trois vecteurs ?
La valeur absolue de ce résultat vaut le volume du parallélépipède
Quand est-ce que le produit mixte de trois vecteurs est nul ?
Si l’un des vecteurs est nul ou si les trois vecteurs sont coplanaires
Que signifie le fait que le produit mixte est invariant par permutation circulaire des vecteurs ?
Qu’est ce qu’un champ scalaire ?
C’est une région de l’espace dans laquelle on associe chaque point (x, y, z) à une grandeur f(x, y, z)
Qu’est ce qu’un champ vectoriel ?
C’est une région de l’espace dans laquelle on associe chaque point (x, y, z) à un vecteur
Qu’est ce qu’un vecteur gradient d’une fonction U(x, y, z) ?
C’est un vecteur dont la direction indique vers quelle direction l’augmentation de la fonction est la plus grande (la plus grande pente)
Quelle est la valeur du gradient d’une fonction U(x, y, z) ?
Qu’est ce que la primitive F d’une fonction f
C’est une fonction F dont la dérivée est égale à f
Combien y a-t-il de primitives d’une fonction continue f dont une primitive est F ?
Une fonction continue f admet une infinité de primitives G de la forme (avec c une constante) :
Que sont les deux façons d’intégrer ?
On peut :
- calculer une aire sous la courbe
- calculer une primitive
Qu’est ce que l’aire d’un trapèze ?
C’est le produit de la demi-somme des bases avec la hauteur
Que vaut l’intégrale d’une fonction f dans un intervalle [a;b] et de primitive F ?
Comment calculer l’aire sous la courbe avec f(x) est quelconque ?
On décompose cette aire sous la courbe en la somme d’aires élémentaires de rectangle de largeur h>0 et de hauteurs f(x+h) ou f(x) selon si on veut une somme majorante ou minorante et dont l’encadrement inclurait la valeur exacte de l’aire sous la courbe
Comment calculer l’aire sous la courbe avec f(x) est quelconque avec h -> 0 ?
Si h -> 0 alors la valeur limite de la somme d’aires de rectangles est égale à l’aire sous la courbe
Qu’est ce qu’une intégrale définie ?
C’est une intégrale égale à un nombre dont l’ensemble est définie et qui peut se calculer de façon approchée ou à partir d’une primitive
Qu’est ce qu’une intégrale indéfinie ?
C’est une intégrale égale à l’ensemble de ses primitives
Hormis une intégrale définie et indéfinie, qu’est ce que le signe ∫ peut encore signifier ?
Il peut aussi désigner une primitive précise de f qui s’annule en x = a et qui est une fonction de f
Qu’est ce qu’un changement de variable ?
Quand est-ce qu’on utilise une intégration par parties ?
Dans une intégration par parties, quelles sont les fonctions qu’on utilise en général pour désigner v et du ?
Quelle est la valeur m moyenne d’une fonction f dans un intervalle [a;b] ?
Qu’est ce qu’une équation différentielle d’ordre n ?
C’est une équation dont les dérivées d’une fonction vont jusqu’à n dérivées
Comment s’appelle une équation différentielle à une seule variable x ?
C’est une équation différentielle ordinaire
Quelle est la solution générale de
En calculant A avec les conditions initiales
Que vaut la solution générale de
Quelle est la méthode de séparation de variables de
Qu’est ce qu’une équation à variables séparables ?
C’est une équation qui peut écrite sous la forme :
Comment résoudre une équations à variables séparables ?
