Applications Flashcards
Comment s’appelle un modèle où les observations sont faites à des intervalles de temps très petits ?
Ce sont des modèles à temps continu
Qu’est-ce que les variations infiniement petites des fonctions étudiées et les équations qui les régissent ?
Ce sont des éléments différentiels et ce sont des équations différentielles
Qu’est-ce que le modèle exponentiel (loi de Malthus) ?
C’est un modèle qui découle des situations où le taux de croissance est proportionnel à la population où N représente le nombre d’individus d’une espèce
Qu’est-ce que le coefficient k du modèle exponentiel ?
C’est un coefficient supposé constant qui représente l’écart entre taux de reproduction et taux de mortalité, quand k > 0, le modèle prévoit une croissance exponentielle, et quand k < 0 il prévoit une extinction de la population
Quand est-ce que le modèle devient-il caduque ?
Lorsque le modèle n’est plus réaliste, quand l’effectif devient trop grand (N tend vers l’infini positif) et que k > 0 car il ne prend pas en compte les limitations du milieu ni les interactions entre individus
Que permet la loi logistique ?
Elle prend en compte des facteurs limitants :
- limitation du milieu nutritif
- limitation dues à la proximité d’un grand nombre d’individus
- régulations biologiques (transmissions de maladies)
Quels changements apporte la loi logistique par rapport au modèle exponentiel ?
k devient une fonction de N soit k = l(N), avec a le nombre d’individus que peut nourir le milieu et lambda une constante
Que vaut l’intégrale de la forme différentielle ?
Quelle nouvelle formule de la loi logistique obtenons-nous ?
Comment avoir N en fonction de t à partir de cette nouvelle formule ?
En exprimant la constante d’intégration en utilisant l’effectif initial N0 à t = 0
Quelles sont les caractéristiques de la loi logistique ?
Quelle est l’allure de la loi logistique ?
C’est une sigmoïde
Que nous permet de dire cette approximation au voisinage de l’origine ?
Dans quoi seront appliqués les systèmes d’équations différentielles d’ordre 1 ?
Ils seront appliqués à l’étude de la coexistence de deux espèces partageant un même environnement, donc ces deux espèces seront donc en interaction
Comment sera représentée mathématiquement l’évolution de la taille de ces deux espèces ?
Par deux équations différentielles chacune exprimant la vitesse de changement d’une espèce, on peut ainsi étudier la dynamique de cette population de deux espèces
Quelle est donc la mise en équations de ce modèle ?
Que représente chaque membre de chaque équation ?
Quels sont les signes des coeffcients a12 et a 21 ?
Les coefficients a12 et a21 sont négatifs lorsque les espèces sont dans une relation de compétition ; ils sont positifs lorsque les espèces sont dans une relation de symbiose. Ils sont de signes opposés lorsque les espèces ont relation de proie/prédateur (ou hôte/parasite)
Comment résoudre ce système ?
Pour résoudre ce système on élimine une des deux fonctions y(t) par exemple en calculant x’‘(t) en fonction de y’(t). On obtient une équation différentielle d’ordre 2 en x(t) que l’on peut résoudre
Où sont ces systèmes d’équations différentielles très utilisées ?
En pharmacocinétique
Que permet d’estimer le calcul de propagation d’incertitude ?
Il permet d’estimer l’incertitude maximale de ce résultat
Quel outil mathématique permet de calculer comment l’incertitude sur chaque paramètre se propage jusqu’au résultat final ?
La différentielle
Comment se propage une incertitude delta x dans un calcul dépendant d’une mesure ?
avec delta f l’incertitude après calcul
Exemple avec incertitude après logarithme décimal
Comment se propage une incertitude delta x dans un calcul dépendant de plusieurs mesures ?
Qu’est-ce que la majoration de l’erreur ?
et on arrondit l’incertitude vers le haut
Qu’est-ce que l’incertitude relative ?
Que nous permet la différentielle logarithmique ?
Elle nous permet de directement calculer l’incertitude relative
Qu’est-ce que l’intégration numérique ?
C’est une méthode qui nous permet de calculer une intégrale lorsqu’on ne connait pas de primitive de la fonction ou lorsque son expression analytique est inconnue (on est en situation purement expérimentale, on calcule alors l’aire sous la courbe par décomposition de l’aire totale en trapèzes élémentaires)
Quel paramètre de la courbe peut modifier notre compréhension du résultat obtenu à travers cette méthode par rapport à la valeur réelle?
Selon le sens de la concavité de la courbe cette méthode sous-estime (concavité uniforme tournée vers le bas) ou sur-estime (concavité uniforme tournée vers le haut) l’intégrale.
L’erreur est d’autant plus forte que la courbure est grande
Comment déterminer une dérivée sans connaissance de l’expression analytique de la fonction ?
En faisant une approximation numérique de la dérivée, grâce au développement linéaire de Taylor, lorsqu’on on connaît les valeurs à des temps éspacés d’intervalles h
Comment améliorer cette approximation ?
Que se passe-t-il pour une fonction à deux variables lorsque les deux dérivées partielles premières s’annulent ?
Cela indique que la fonction admet à ce point un plan tangent horizontal, et la fonction présentera à ce point, un minimum, un maximum ou un point selle (le plan tangeant traverse la surface)
Comment déterminer si l’annulation des dérivés partielles équivaut à un extremum ou à un point selle ?
