Estimation, Intervalle de confiance Flashcards
A quoi s’intéresse-t-on en pratique en statistiques dans une population ?
A la loi de probabilité (ses paramètres)
Comment obtenir de l’informatoin sur les paramètres qui nous sont inconnus ?
Quelle question est légitime à se poser ?
“Cette valeur est-elle éloignée de la vraie valeur du paramètre ?”
Que faut-il pour que l’information soit pertinente ?
Il faut un échantillon représentatif de la population
Comment faire un échantillon représentatif de la population ?
Quelle est la démarche pour trouver les valeurs de paramètres de la loi de proabilité d’une variable aléatoire X dans une population ?
Qu’est-ce que la valeur t ?
C’est une estimation de θ, une approximation dans la mesure où on n’a observé qu’un échantillon
Quelles interrogations sont-elles alors légitimes de soulever ?
Que se passe-t-il si on constitue un 2e, 3e, . . . échantillon ?
Chaque échantillon conduit à une estimation différente du même θ : c’est les fluctuations d’échantillonnage
Que peut-on donc proposer à partir d’un échantillon ?
On peut proposer une valeur t pour θ
Quelle est l’autre solution pour estimer θ ?
C’est de proposer un intervalle de valeurs plausibles pour θ, qui tient compte des fluctuations d’échantillonnage, qui a une probabilité assez importante de contenir la vraie valeur de θ
Comment s’appelle tel intervalle ?
Intervalle de confiance
Quelles sont les différences entre les probabilités et statistiques ?
Que représente alors l’estimation t au niveau des réalisations ?
Parallèment que représente la variable aléatoire T dont la réalisation est t ?
Comment choisir une estimateur T ?
Comment choisir entre deux estimateurs du même paramètre ?
Les estimateurs ont aussi des propriétés, utilisées pour quantifier leur qualité comme estimateur de θ
Qu’est-ce que le biais d’un estimateur ?
C’est l’écart entre l’espérance de T et θ
Qu’est-ce que T sans biais ou non biaisé ?
C’est lorsque son espérance vaut θ (c’est ce qu’on souhaite) ou quand le biais est nul
Quelle est la différence entre ces deux estimateurs d’un même paramètre ?
Les estimations avec T3 tendent à être moins proches de θ qu’avec T1 : la variance de T3 est plus grande que celle de T1
Quel serait l’estimateur idéal ?
Un sans biais et de variance la plus faible possible
Que se passe-t-il quand l’information disponible augmente ? (Quand n augmente)
On note Tn l’estimateur pour un n-échantillon
Comment qualifie-t-on un estimateur pour n-échantillon quand n tend vers l’infini, que l’espérance tend vers θ et la variance vers 0 ?
C’est un estimateur convergent (même l’estimateur est qualifié de convergent quand espérance est égale à θ quelque soit n)
Que donne T ?
Elle donne un estimation ponctuelle t de θ, on ne sait néanmoins pas si t est proche de θ
Quelle est la probabilité fixée que l’intervalle de confiance contienne θ ?
D’un niveau de confiance (1-α)
Quelles sont les caractéristiques d’un intervalle de confiance d’une valeur θ ?
Que vaut la probabilité que θ appartienne à l’intervalle de confiance et celle qu’il n’appartienne pas à l’intervalle de confiance (généralement) ?
En prenant en compte que l’intervalle est symétrique en probabilité, que vaut les probabilités que θ appartienne à un côté de la borne ou de l’autre hors de l’intervalle de confiance ?
Interprétation
Quel est l’estimateur pour la moyenne d’un n-échantilllon d’une variable quand les Xi sont iid d’espérance E(X) = µ ?
Que pouvons-nous conclure que E(Mn) = µ ?
Que l’estimateur de la moyenne est sans biais
Que se passe-t-il à l’estimateur de la moyenne quand la taille de l’échantillon est grande, quand n tend vers l’infini
Que vaut la proportion observée pour une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli et que cela signifie pour le paramètre π ?
Donc l’espérance de variable aléatoire X est égale à π
Quelles sont les propriétés de Pn comme estimateur de π ?
Quel estimateur pouvons-nous utilisé pour une variance ?
Quelles sont les propriétés de Vn précédemment cité ?
L’estimateur est biaisé
Quelle est la solution pour obtenir un estimateur non biaisé ?
Quel est donc le nouvel estimateur de la variance ?
de réalisation sur un échantillon de s²
A quoi est égal le carré de la somme de variables aléatoires Xi sur n ?
Cela vaut la moyenne au carré multipliée par n
Quelle est la propriété de S²n (convergence) ?
C’est aussi un estimateur convergent de σ²
En s’intéressant à une variable continue X d’espérance µ et de variance σ², qu’est appelée µ ?
Elle est aussi appelée “moyenne théorique” ou “moyenne dans la population”
Que vaut l’intervalle de confiance de niveau 1-α de µ ?
Comment évolue l’intervalle de confiance de niveau 1-α quand µ est connu ?
Pour un échantillonage
Que vaut ε pour α = 0,05 ?
1,96
Que vaut la largeur de l’intervalle de confiance ?
Quelle est la condition à supposer pour pouvoir calculer une valeur n pour une largeur donnée ?
Il faut supposer que s resterait le même sur un autre échantillon
Que vaut l’intervalle de confiance du paramètre π d’une loi de Bernoulli ?
Quels problèmes rencontrons-nous lors du calcul de l’intervalle de confiance de Pn estimation de π ?
Quelle est la solution apportée ?
Que vaut la largeur de l’intervalle de confiance de π d’une loi de Bernoulli ?
Les différences entre intervalle de pari et intervalle de confiance
