Echantillonnage, Intervalle de pari Flashcards
Avant de réaliser l’expérience aléatoire, que cherche-t-on à déterminer ?
Avant de réaliser l’expérience aléatoire avec connaissance de la loi d’une variable aléatoire sans paramètre inconnu, on cherche à déterminer un intervalle où le résultat a de grandes chances de se trouver
Comment le terme “grandes chances” est-il traduit mathématiquement ?
On fixe une probabilité (1-α) que le résultat de l’expérience soit dans l’intervalle (risque α qu’il n’y soit pas)
Comment s’appelle cet intervalle et quelles sont ses caractéristiques ?
C’est l’intervalle de pari (ou intervalle de fluctuation) :
- on peut parier que la réalisation sera dans l’intervalle
- on connaît la probabilité de gagner/perdre son pari
Que permet de prouver l’intervalle de pari ?
Il permet de valider une hypothèse de si une variable aléatoire suit telle loi
Qu’est-ce qu’un intervalle de pari ?
Soit X une variable aléatoire de loi connue, on appelle intervalle de pari d’une réalisation de X au risque α l’intervalle [a,b] symétrique en probabilité tel que
Comment note-t-on l’intervalle de pari ?
Que signifie la symétrie en probabilité au niveau des probabilités hors des bornes ?
puisque le risque qu’il ne soit pas entre les bornes est de α
Quelles sont les autres implications de la symétrie en probabilité ?
Quelles sont les conditions de l’intervalle de pari pour une variable aléatoire et quelle est la particularité de l’intervalle de pari ?
Autour de quelle valeur la loi de X est-elle symétrique ?
Autour d’une valeur µ (qui est sa moyenne et sa médiane)
Quelle autre intervalle symétrique pouvons-nous en déduire à partir de µ, autre que l’intervalle [a;b] ?
[µ-e;µ+e] avec e >= 0
Comment alors calculer l’intervalle de pari à partir de l’intervalle symétrique à partir de µ ?
Il nous suffit alors de trouver e
Quels sont les calculs avec une loi Normale centrée et réduite ?
Que cherchons-nous donc avec l’intervalle de pari avec la table 2b ?
Que vaut alors IP à 95% de la variable aléatoire X avec le tableau 2b selon ces données
Comment calculons-nous l’intervalle de pari 95% avec le table 2a ?
La colonne correspondant à la valeur de alpha et la ligne si alpha est supérieure à la valeur mais inférieure à celle de la ligne suivante
Comment se fait le calcul de l’intervalle de pari si X a une loi asymétrique (avec la table 3, pour IP80% pour la loi Chi2(4)) ?
Comment s’appelle l’ensemble (X1, X2, … , Xn) suite à la répétition indépendamment n fois l’épreuve réalisant X résultant à n variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées : iid ?
L’ensemble est appelé un échantillon de taille n, ou n-échantillon
Quel intérêt présente la loi de probabilité du n-échantillon ?
Elle présente en soi peu d’intérêt
A quoi va-t-on plus s’intéresser alors ?
Comment une somme peut alors suivre une loi normale de paramètres (nµ, nσ²) ?
- Soit parce que X suit une loi normale
- Soit parce que n permet d’utiliser le TCL (n >= 30 ou {nπ >= 5 et n(1-π) >= 5})
Que vaut la formule de l’IP d’une somme pour une loi normale ?
Que vaut alors la formule de l’IP de la somme si X suit une loi de Bernoulli ?
Que vaut la moyenne du n-échantillon (de la somme de n-échantillon) et quelle est sa nature ?
Quels sont les différents sens du mot “moyenne” ?
Que vaut alors l’espérance de Mn puisque c’est une variable aléatoire ?
Que vaut alors la variance de Mn ?
Quelle loi suit Mn si X suit une loi normale ?
Quelle loi de Mn si X suit une loi quelconque ?
Comment s’applique le théorème central limite sur la loi de Mn ?
Quelle approximation peut-il être opéré lorsque n est grand ?
Donner des exemples de proportions observées Pn sur un n-échantillon
Que vaut la proportion observée sur un n-échantillon ?
Elle vaut Mn lorsque X = 1 si l’évènement s’est réalisé, X = 0, sinon donc X suit une loi de Bernoulli
Que vaut alors l’espérance et la variance d’une proportion observée ?
Quelle approximation est-il possible de faire grâce au TCL au niveau de Pn et dans quelles conditions ?
Quelle est l’intervalle de pari de Mn qui suit une loi normale ?
Que vaut la largeur l de l’intervalle de pari d’une moyenne ?
Que nous permet d’autre de faire la formule précédente ?
Elle nous permet de calculer n pour une largeur l donnée
Que faut-il faire attention lors de l’utilisation de cette formule ?
Si l’on a utilisé une loi approximée, il faut vérifier a postériori que l’on pouvait applique le TCL avec la valeur de n trouvée
Comment varie l’IP lorsque alpha baisse et pourquoi ?
Qu’est-ce que Pn ?
Quelle approximation peut être faite si nπ ≥ 5 et n(1 − π) ≥ 5 ?
La loi de Pn peut être approchée par la loi normale N (π,π(1 − π)/n)
Que vaut alors l’intervalle de pari de Pn ?
Que vaut la largeur d’un intervalle de pari d’une proportion ?
Que nous permet-elle aussi de calculer et que faut-il vérifier à posteriori ?
Elle nous permet de calculer le nombre n pour une largeur donnée
