Variables aléatoires, lois de probabilité discrètes et continues Flashcards
Quelles sont les limites des modèles aléatoires (E, P) créés à partir des événements ?
- Pour les expériences à valeurs qualitatives, les événements (succès, échec, pile, face, etc.) sont difficiles à manipuler
- Ce ne sont pas des nombres
Quel intérêt émerge alors de ce problème ?
Intérêt de développer une variable aléatoire (R, PX) à partir d’un un modèle aléatoire
Que permet la variable aléatoire ?
De transformer tout évènement en un nombre
Quel est le but d’une statistique descriptive ?
Quel est le but de la variable aléatoire, X ?
Qu’est-ce qu’une variable aléatoire ?
C’est une fonction à valeurs réelles définie sur l’ensemble des évènements
Quels sont les différents types de variables aléatoires ?
Elles sont de deux types selon l’espace des observations :
Quels sont les différents moyens d’obtenir la variable aléatoire discrète X si R, l’espace des obsevation est un ensemble fini ou au moins dénombrable ?
Comment pouvons-nous obtenir la variable aléatoire continue X ?
Quel est l’autre but d’une variable aléatoire ?
Aussi de simplifier un modèle aléatoire (E, P)
Que pouvons-nous donc définir à partir de l’ensemble des évènements ?
A partir de l’ensemble des événements, on a défini l’ensemble des observations
Quelle est la formule de la loi de probabilité de X, Px ?
De quoi va dépendre son expression ?
Du type de variable aléatoire
Quelles sont les caractéristiques de la loi de probabilité de X ?>
Comment se trace la loi de probabilité de X ?
Elle se trace par un diagramme en bâtons dont les hauteurs somment sur 1
Que permet de modéliser la loi de Jacob Bernoulli B(π) ?
Elle permet de modéliser les expériences “en tout ou rien” (avec deux résultats possibles)
Quelles sont les deux conditions de la loi de Jacob Bernoulli ?
Que vaut la probabilité d’un évènement pour X en tant que variable aléatoire continue ?
Elle vaut 0 car E n’est donc pas dénombrable
Comment décrit-on la variabilité des données dans une loi de X comme variable aléatoire continue ?
Que se passe-t-il si on diminue la largeur des intervalles ?
Que vaut la probabilité de X dans un intervalle de [a,b] d’une variable aléatoire continue décrite par sa densité de probabilité ?
Quelles sont les caractéristiques de la loi de probabilité de X, variable aléatoire continue ?
Quelles sont les caractéristiques d’une telle loi ?
Quelles sont les caractéristiques de la densité de probabilité ?
Que transforme le passage du discret au continu ?
- les sommes Σ en intégrales
- Les pi en f(x)dx
Quelles sont les différences entre une variable aléatoire discrète et une variable aléatoire continue ?
Que permet la loi uniforme [0,1] ?
Elle modélise les “nombres au hasard”
Quelles sont les caractéristiques de cette loi uniforme sur [0,1] ?
Quelles sont les caractéristiques de la loi uniforme sur [a,b] ? (écriture, formule de la loi de probabilité, valeur de constante…)
Quelles sont les caractéristiques de la loi exponentielle ? (ensemble de définition, formule de la densité, écriture…)
Que vaut la médiane d’une loi exponentielle ?
Elle vaut : ln(2)*E(x)
Quelle est la caractéristique commune du fonctionnement d’une variable aléatoire X discrète et continue ?
Quelles sont les caractéristiques de la fonction de répartition d’une variable aléatoire X ?
Quelle est la formule de la fonction de répartition pour variable aléatoire discrète ?
Quelles sont les caractéristiques de la répartition graphique d’une variable aléatoire discrète d’une fonction de répartition par rapport à une loi de probabilité ?
Que vaut la fonction de répartition d’une variable aléatoire continue ?
Quelles sont les caractéristiques d’une fonction de répartition d’une variable aléatoire continue X ?
Quelles sont les différences entre une fonction de répartition d’une variable aléatoire X discrète et continue ?
Comment s’applique la loi uniforme sur [a,b] sur la fonction de répartition d’une variable aléatoire continue ?
Comment s’applique la loi exponentielle sur la fonction de répartition ?
Quelle est la propriété de la loi exponentielle ?
C’est une loi “sans mémoire” avec | : sachant que, et aussi a et c sont des entiers positifs
Quel est le but des moments d’une variable aléatoire X ?
C’est de synthétiser la loi de probabilité de X (par analogie avec les caractéristiques de position et dispersion d’une distribution expérimentale)
En quoi consiste les moments d’ordre 1 et 2 ?
Ils consistent en une description de la position pour le moment d’ordre 1 grâce à l’espérance et en une description de la dispersion pour le moment d’ordre 2 grâce à la variance et l’écart-type
Comment s’interprète une loi de probabilité ?
Comme une répartition de masse
Qu’est-ce que l’espérance ou moyenne d’une valeur aléatoire X ?
C’est le barycentre de cette répartition de masse dite aussi valeur attendue de X, notée souvent µx ou µ et s’exprime différemment selon le type de variable aléatoire
Quelle est la formule de l’espérance de la variable aléatoire X discrète ?
Que vaut l’espérance de la loi de Bernoulli ?
Quelle est la formule de l’espérance de la variable aléatoire X continue ?
Que vaut l’espérance de la loi uniforme sur [0,1] ?
Que vaut l’espérance de la loi uniforme sur [a,b] ?
Que vaut l’espérance d’une loi exponentielle ?
Quelles sont les différentes opérations sur les espérances ?
Que vaut l’espérance d’une fonction quelconque de g de X ? (selon si X est discrète ou continue)
Que mesure la variance de X ?
Elle mesure la dispersion de la densité
Que vaut la variance de X ?
Que vaut l’écart-type de X ?
Quel est le cas particulier où la variance est l’espérance d’une fonction de X ?
Quelle est la différence de la variance entre la statistique descriptive et la loi de probabilité de X ?
Que valent l’espérance de X et X² d’une variable aléatoire discrète X ?
Que vaut la variance de la loi de Bernoulli ?
Que valent l’espérance de X et de X² d’une variable aléatoire continue X ?
Que vaut la variance sur une loi uniforme sur [0,1] ?
Que vaut la variance sur une loi uniforme sur [a,b] ?
Que vaut la variance sur une loi exponentielle ?
Quelles sont les opérations sur les variances ?
