Trigonometriska Ekvationer med Enhetscirkeln i Det Komplexa Talplanet

Question 1

Hur löser man trigonometriska ekvationer som sin(θ) = k med hjälp av enhetscirkeln?

Answer 1

Leta efter de punkter på enhetscirkeln där y-koordinaten är k. De två lösningarna inom intervallet 0 ≤ θ < 2π är:
• θ1 = arcsin(k)
• θ2 = π - arcsin(k)
• Generellt: θ = arcsin(k) + 2nπ eller θ = π - arcsin(k) + 2nπ, där n ∈ Z.

Question 2

Hur löser man trigonometriska ekvationer som cos(θ) = k med hjälp av enhetscirkeln?

Answer 2

Leta efter de punkter på enhetscirkeln där x-koordinaten är k. De två grundlösningarna är:
• θ1 = arccos(k)
• θ2 = 2π - arccos(k)
• Generellt: θ = arccos(k) + 2nπ eller θ = -arccos(k) + 2nπ, där n ∈ Z.

Question 3

Vad innebär spegling över x-axeln i enhetscirkeln?

Answer 3

Spegling över x-axeln ger:
• (cos(θ), sin(θ)) → (cos(θ), -sin(θ))

Question 4

Vad innebär spegling över y-axeln i enhetscirkeln?

Answer 4

Spegling över y-axeln ger:
• (cos(θ), sin(θ)) → (-cos(θ), sin(θ))

Question 5

Vad innebär periodisk symmetri för trigonometriska funktioner?

Answer 5

För varje vinkel θ gäller att:
• cos(θ + 2π) = cos(θ)
• sin(θ + 2π) = sin(θ)
• Perioden är 2π.

Question 6

Vad innebär periodisk symmetri för trigonometriska funktioner?

Answer 6

För varje vinkel θ gäller att:
• cos(θ + 2π) = cos(θ)
• sin(θ + 2π) = sin(θ)
• Perioden är 2π.

Question 7

Vad innebär kvadrantsymmetri för trigonometriska funktioner?

Answer 7

För negativa vinklar -θ gäller att:
• cos(-θ) = cos(θ)
• sin(-θ) = -sin(θ)

Question 8

Vad är exakta värden för cos(θ) och sin(θ) vid specifika vinklar?

Answer 8

Här är några exakta värden:
• cos(0) = 1, sin(0) = 0
• cos(π/6) = √3/2, sin(π/6) = 1/2
• cos(π/4) = √2/2, sin(π/4) = √2/2
• cos(π/2) = 0, sin(π/2) = 1

Question 9

Hur ser en sinuskurva ut i samband med enhetscirkeln?

Answer 9

Sinuskurvan beskriver y-koordinaten på enhetscirkeln, börjar vid 0, når sitt maximum 1 vid π/2 och återvänder till 0 vid 2π. Den är kontinuerlig och periodisk med period 2π.

Question 10

Hur ser en cosinuskurva ut i samband med enhetscirkeln?

Answer 10

Cosinuskurvan beskriver x-koordinaten på enhetscirkeln, börjar vid 1, når 0 vid π/2 och återgår till 1 vid 2π. Den är kontinuerlig och periodisk med period 2π.

Question 11

Vad är tangens i förhållande till enhetscirkeln?

Answer 11

Tangens är förhållandet mellan sin(θ) och cos(θ):
• tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)
• Tangenskurvan har asymptoter vid θ = π/2 + nπ, där n är ett heltal.

Question 12

Hur representeras sinus och cosinus i det komplexa talplanet?

Answer 12

Sinus och cosinus kan representeras som:
• cos(θ) = reell del av e^(iθ)
• sin(θ) = imaginär del av e^(iθ