Mellannivå - Kopplingar och Formler.

Question 1

Vad är Trigonometriska Ettan?

Answer 1

Trigonometriska ettan är formeln cos²(θ) + sin²(θ) = 1, härledd från enhetscirkeln. Den beskriver sambandet mellan cosinus och sinus för varje vinkel θ.

Question 2

Hur kopplas Trigonometriska Ettan till komplexa tal på enhetscirkeln?

Answer 2

För ett komplext tal z = cos(θ) + i sin(θ) på enhetscirkeln, gäller att |z|² = cos²(θ) + sin²(θ) = 1, vilket visar att alla komplexa tal på enhetscirkeln har absolutbeloppet 1.

Question 3

Vad säger addition- och subtraktionsformlerna för trigonometriska funktioner?

Answer 3

• cos(α ± β) = cos(α)cos(β) ∓ sin(α)sin(β)
• sin(α ± β) = sin(α)cos(β) ± cos(α)sin(β)

Question 4

Hur kopplas addition- och subtraktionsformlerna till komplexa tal?

Answer 4

För två komplexa tal z₁ = cos(α) + i sin(α) och z₂ = cos(β) + i sin(β), gäller:
z₁ z₂ = cos(α + β) + i sin(α + β), vilket är resultatet av att addera vinklarna.

Question 5

Vad är formeln för dubbla vinkeln för cosinus?

Answer 5

cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ), vilket är resultatet av att använda trigonometriska identiteter för att uttrycka dubbla vinklar.

Question 6

Vad är formeln för dubbla vinkeln för sinus?

Answer 6

sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ), vilket är ett resultat från att kombinera sinus och cosinus vid dubbla vinklar.

Question 7

Hur relaterar dubbla vinkelformlerna till komplexa tal?

Answer 7

För z = cos(θ) + i sin(θ), gäller att z² = cos(2θ) + i sin(2θ), vilket är resultatet av att kvadrera ett komplext tal på enhetscirkeln.

Question 8

Vad säger Eulers formel?

Answer 8

Eulers formel sammanbinder komplexa tal och trigonometriska funktioner:
e^(iθ) = cos(θ) + i sin(θ), där e^(iθ) representerar ett komplext tal på enhetscirkeln.

Question 9

Vad innebär multiplikation av två komplexa tal enligt Eulers formel?

Answer 9

För två komplexa tal e^(iα) och e^(iβ), gäller att:
e^(iα) * e^(iβ) = e^(i(α + β)), vilket innebär att man adderar vinklarna vid multiplikation.

Question 10

Vad är ett exempel på Eulers formel för θ = π/2?

Answer 10

När θ = π/2, gäller:
e^(iπ/2) = cos(π/2) + i sin(π/2) = i.

Question 11

Hur gör man addition och subtraktion av komplexa tal?

Answer 11

För komplexa tal z₁ = (a₁ + b₁i) och z₂ = (a₂ + b₂i), gäller:

•	Addition: z₁ + z₂ = (a₁ + a₂) + i(b₁ + b₂).
•	Subtraktion: z₁ - z₂ = (a₁ - a₂) + i(b₁ - b₂).

Question 12

Hur multipliceras två komplexa tal?

Answer 12

För z₁ = a₁ + b₁i och z₂ = a₂ + b₂i, gäller:
z₁ * z₂ = (a₁a₂ - b₁b₂) + i(a₁b₂ + a₂b₁).

Question 13

Hur multipliceras komplexa tal i polär form?

Answer 13

För två komplexa tal z₁ = r₁e^(iθ₁) och z₂ = r₂e^(iθ₂), gäller:
z₁ * z₂ = r₁r₂ e^(i(θ₁ + θ₂)).

Question 14

Hur divideras två komplexa tal i polär form?

Answer 14

För z₁ = r₁e^(iθ₁) och z₂ = r₂e^(iθ₂), gäller:
z₁ / z₂ = (r₁ / r₂) e^(i(θ₁ - θ₂)).

Question 15

Vad är grafiska tolkningar av sin(θ) och cos(θ)?

Answer 15

• cos(θ) är x-koordinaten på enhetscirkeln.
• sin(θ) är y-koordinaten på enhetscirkeln.

Question 16

Hur representeras rotation i enhetscirkeln av ett komplext tal?

Answer 16

Ett komplext tal z = e^(iθ) representerar en rotation med vinkeln θ på enhetscirkeln.

Question 17

Vad är perioden för sinus- och cosinuskurvor?

Answer 17

Både cos(θ) och sin(θ) har en period på 2π, vilket innebär att de upprepar sig var 2π-enheter på x-axeln.

Question 18

Hur förstår man trigonometriska samband i relation till komplexa tal?

Answer 18

Trigonometriska samband som addition av vinklar kan förstås som multiplikation av komplexa tal. Eulers formel gör det enkelt att växla mellan trigonometrisk och exponentiell form.