Polynomekvationer och algebra Flashcards
Vad säger Algebrans fundamentalsats?
Algebrans fundamentalsats säger att varje polynom av grad n, med komplexa koefficienter, har exakt n rötter (inklusive multipla rötter) i det komplexa talplanet.
Vad innebär det att en polynom har rötter räknade med mångfald?
Rötter räknade med mångfald innebär att om ett polynom har en rot som upprepas, så räknas den flera gånger. Till exempel, om en rot är dubbel, räknas den två gånger.
Vad är konjugatregeln för polynom med reella koefficienter?
Om ett polynom har reella koefficienter och z är en rot, så är också konjugatet av z, det vill säga z̄, en rot.
Vad händer om ett polynom har rötterna i komplexa tal?
Om ett polynom har en komplex rot, så måste även den komplexa konjugaten av denna rot vara en rot, om polynomet har reella koefficienter.
Ge ett exempel på polynom som har konjugerade komplexa rötter.
Polynom p(x) = x² + 1 har rötterna i och -i, som är komplexa konjugat.
Vad är ett tredjegradspolynom?
Ett tredjegradspolynom har formen p(x) = a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀ och kan ha en, två eller tre reella rötter beroende på diskriminanten.
Vad är diskriminanten för en andragradsekvation?
Diskriminanten för en andragradsekvation ax² + bx + c = 0 är D = b² - 4ac.
Vad ger diskriminanten för information om lösningarna till en andragradsekvation?
Diskriminanten avgör antalet och typen av lösningar:
* Om D > 0: två olika reella lösningar.
* Om D = 0: en dubbel (lika) reell lösning.
* Om D < 0: inga reella lösningar, men två komplexa lösningar.
Hur använder man diskriminanten för att lösa en andragradsekvation?
Diskriminanten används för att avgöra vilken form lösningarna kommer att ta, och den används i formeln för lösningarna:
x = (-b ± √D) / 2a.
Vad händer om diskriminanten är negativ?
Om D < 0 finns det inga reella lösningar, men det finns två komplexa lösningar.
Vad kan diskriminanten säga om grafen av en andragradsekvation?
- D > 0: Grafen skär x-axeln på två punkter.
- D = 0: Grafen tangerar x-axeln på en punkt.
- D < 0: Grafen skär inte x-axeln, utan ligger helt ovanför eller nedanför den.
Vad innebär det för en andragradsekvation om diskriminanten är noll?
Om D = 0 betyder det att ekvationen har en dubbel reell lösning, dvs. båda lösningarna är lika.
Hur påverkar diskriminanten lösningarna när koefficienterna a, b och c är väldigt stora eller små?
Diskriminanten beror på värdena av a, b och c, och stora eller små värden påverkar hur stor eller liten diskriminanten blir, vilket kan påverka om lösningarna är reella eller komplexa.
Hur används diskriminanten i analys av polynom av högre grad?
Diskriminanten används för att avgöra antalet och typen av reella rötter till ett polynom och är ett användbart verktyg i teorin om polynom och algebraisk geometri.
Hur ser grafen för ett tredjegradspolynom ut?
Grafen för ett tredjegradspolynom kan ha en eller två vändpunkter och asymptotiskt beteende där den går mot oändligheten eller minus oändlighet beroende på koefficienten för x³.
