Specialistnivå och Generalisering

Question 1

Vad beskriver symmetrier i enhetscirkeln?

Answer 1

Enhetscirkeln är symmetrisk kring både den reella och imaginära axeln. För varje punkt z = e^iθ gäller z ⋅ z̄ = 1, där z̄ = e^(-iθ).

Question 2

Vad innebär periodiciteter i trigonometriska funktioner?

Answer 2

Trigonometriska funktioner sin(θ) och cos(θ) är 2π-periodiska. För alla θ gäller e^(i(θ + 2πn)) = e^(iθ), där n är ett heltal.

Question 3

Vad är speglingssymmetrier i trigonometriska funktioner

Answer 3

Speglingssymmetrier:

•	Symmetri kring x-axeln: sin(-θ) = -sin(θ), cos(-θ) = cos(θ).
•	Symmetri kring y-axeln: cos(π - θ) = -cos(θ), sin(π - θ) = sin(θ).

Question 4

Vad är n-te enhetsrötter?

Answer 4

Rötterna till z^n = 1 är symmetriskt fördelade på enhetscirkeln. De är givna av z_k = e^(i(2kπ/n)) för k = 0, 1, …, n-1.

Question 5

Vad gör multiplikation med e^(iϕ)?

Answer 5

Multiplikation med e^(iϕ) roterar punkterna på enhetscirkeln. Detta används ofta inom signalbehandling och fysik.

Question 6

Vad beskriver restsatsen i det komplexa talplanet?

Answer 6

För ett polynom P(z) och en punkt z = a gäller P(a) = R, där R är resten vid division av P(z) med (z - a).

Question 7

Vad innebär faktorsatsen för ett polynom?

Answer 7

Om P(a) = 0, så är (z - a) en faktor till P(z).

Question 8

Hur kan trigonometriska funktioner generaliseras med komplexa exponentiella uttryck?

Answer 8

Sinus och cosinus kan uttryckas som:
cos(θ) = (e^(iθ) + e^(-iθ)) / 2
sin(θ) = (e^(iθ) - e^(-iθ)) / (2i).

Question 9

Vad säger additionsteoremet för komplexa exponentiella uttryck?

Answer 9

Additionsteoremet säger att e^(i(a + b)) = e^(ia) * e^(ib).