Komplexa tal i olika former Flashcards
Hur omvandlar du ett komplext tal z = a + bi från rektangulär form till polär form?
- Beräkna magnituden r: r = √(a² + b²).
- Hitta argumentet theta: theta = arctan(b / a) (justera beroende på kvadrant).
- Skriv i polär form: z = r (cos(theta) + i sin(theta)).
Hur justerar du argumentet (theta) beroende på vilken kvadrant det komplexa talet befinner sig i?
Om a > 0 och b > 0 (första kvadranten)
theta = arctan(b / a).
Hur justerar du argumentet (theta) beroende på vilken kvadrant det komplexa talet befinner sig i?
Om a < 0 och b > 0 (andra kvadranten):
theta = arctan(b / a) + π.
Hur justerar du argumentet (theta) beroende på vilken kvadrant det komplexa talet befinner sig i?
Om a > 0 och b < 0 (fjärde kvadranten)
theta = arctan(b / a) + 2π.
Hur justerar du argumentet (theta) beroende på vilken kvadrant det komplexa talet befinner sig i?
Om a < 0 och b < 0 (tredje kvadranten):
theta = arctan(b / a) + π.
Vad gör du om argumentet (theta) du får från arctan är i fel kvadrant?
Du justerar värdet av theta genom att lägga till eller subtrahera π (eller 2π om det behövs) för att matcha rätt kvadrant.
Hur bestämmer du om ett komplext tal ligger i första kvadranten?
a > 0, b > 0.
Hur bestämmer du om ett komplext tal ligger i andra kvadranten?
a < 0, b > 0.
Hur bestämmer du om ett komplext tal ligger i tredje kvadranten?
a < 0, b < 0
Vad är skillnaden i hur argumentet beräknas för ett komplext tal i andra och fjärde kvadranten jämfört med första kvadranten?
I andra och fjärde kvadranten måste du justera argumentet genom att lägga till eller subtrahera π för att få det rätta värdet, eftersom arctan endast ger värden mellan -π/2 och π/2.
Om du får ett argument i tredje kvadranten, vad gör du för att få rätt vinkel?
I tredje kvadranten, om arctan ger ett negativt resultat, adderar du π för att justera värdet till rätt vinkel i intervallet (-π, π).
Vad är magnituden r för ett komplext tal z = a + bi?
r = roten ur (a^2 + b^2).
Hur representeras ett komplext tal z = a + bi i det komplexa planet?
Det representeras som en punkt (a, b), där a är den reella delen och b är den imaginära delen.
Vad är argumentet theta för ett komplext tal?
Argumentet theta är vinkeln mellan den positiva reella axeln och vektorn som går från origo till punkten (a, b).
Hur beräknar du argumentet theta i olika kvadranter?
- Kvadrant 1: theta = arctan(b / a).
- Kvadrant 2: theta = 180 grader - arctan(|b / a|).
- Kvadrant 3: theta = 180 grader + arctan(|b / a|).
- Kvadrant 4: theta = 360 grader - arctan(|b / a|).
Vad innebär det att multiplicera två komplexa tal i polär form?
Multiplicera deras magnituder och addera deras argument:
z1 * z2 = r1 * r2 (cos(theta1 + theta2) + i sin(theta1 + theta2)).
Vad innebär det att dividera två komplexa tal i polär form?
Dividera deras magnituder och subtrahera deras argument:
z1 / z2 = (r1 / r2) (cos(theta1 - theta2) + i sin(theta1 - theta2)).
Vad betyder magnituden och argumentet geometriskt i det komplexa planet?
Magnituden är längden på vektorn från origo till punkten (a, b). Argumentet är vinkeln mellan den positiva reella axeln och vektorn.
Hur ser den rektangulära formen och polära formen ut för ett komplext tal?
- Rektangulär form: z = a + bi.
- Polär form: z = r (cos(theta) + i sin(theta)).
Vad händer geometriskt vid multiplikation av två komplexa tal?
Vektorn roteras med vinkeln från det andra talet och skalas med dess magnitud.
Vad händer geometriskt vid division av två komplexa tal?
Vektorn roteras i motsatt riktning och skalas genom att dess längd divideras med magnituden av det andra talet.
Ge ett exempel på hur du omvandlar z = 3 + 4i till polär form.
- r = roten ur (3^2 + 4^2) = 5.
- theta = arctan(4 / 3) ≈ 53.13 grader.
- Polär form: z = 5 (cos(53.13) + i sin(53.13)).
Varför är operationer enklare i polär form än i rektangulär form?
Multiplikation och division i polär form innebär endast att addera eller subtrahera vinklar och multiplicera eller dividera magnituder.
