Operationer på komplexa tal med geometriska insikter Flashcards
Vad är den geometriska tolkningen av multiplikation av komplexa tal?
Multiplikation av komplexa tal innebär en kombination av rotation och skalning i det komplexa planet. Magnituderna multipliceras och argumenten adderas, vilket innebär att vektorn roteras och skalan ändras.
Hur beräknas produkten av två komplexa tal i polär form?
Produkten av två komplexa tal z₁ = r₁(cos(θ₁) + i sin(θ₁)) och z₂ = r₂(cos(θ₂) + i sin(θ₂)) ges av:
z₁ ⋅ z₂ = r₁r₂(cos(θ₁ + θ₂) + i sin(θ₁ + θ₂)).
Ge ett exempel på multiplikation av två komplexa tal och dess geometriska betydelse.
Om z₁ = 2(cos 30° + i sin 30°) och z₂ = 3(cos 45° + i sin 45°), så är:
z₁ ⋅ z₂ = 6(cos 75° + i sin 75°).
Geometriskt innebär detta att produkten resulterar i en vektor med en magnitud på 6 och en rotation på 75°.
Vad är den geometriska tolkningen av division av komplexa tal?
Division av komplexa tal innebär en invers rotation och en skalning i motsatt riktning. Magnituderna divideras och argumenten subtraheras.
Hur beräknas kvoten av två komplexa tal i polär form?
Kvoten av två komplexa tal z₁ = r₁(cos(θ₁) + i sin(θ₁)) och z₂ = r₂(cos(θ₂) + i sin(θ₂)) ges av:
z₁ / z₂ = (r₁ / r₂)(cos(θ₁ - θ₂) + i sin(θ₁ - θ₂)).
Ge ett exempel på division av komplexa tal och dess geometriska tolkning.
Om z₁ = 4(cos 120° + i sin 120°) och z₂ = 2(cos 60° + i sin 60°), så är:
z₁ / z₂ = 2(cos 60° + i sin 60°).
Geometriskt innebär detta att divisionen halverar både vinkeln och magnituden.
Vad sker när ett komplext tal multipliceras med i?
Multiplikation med i innebär en rotation på 90° moturs. Om ett komplext tal z = x + yi multipliceras med i, blir resultatet z ⋅ i = -y + xi, vilket roterar vektorn 90° runt origo.
Vad är en rotation med ett komplext tal av formen e^{iϕ}?
Multiplikation med e^{iϕ} resulterar i en rotation med vinkeln ϕ i det komplexa planet. Till exempel, multiplikation med e^{iπ} = -1 innebär en rotation med 180° och spegling över origo.
