Komplexa tal som vektorer Flashcards
Hur kan ett komplext tal representeras som en vektor i det komplexa planet?
Ett komplext tal z = a + bi kan betraktas som en vektor där a är den reella delen (projektionen på x-axeln) och b är den imaginära delen (projektionen på y-axeln).
Vad händer med vektorn när magnituden r ändras?
Om magnituden r ökar, förlängs vektorn. Om r minskar, förkortas vektorn.
Vad innebär en förändring i argumentet θ för vektorn?
En förändring i argumentet θ resulterar i en rotation av vektorn runt origo utan att ändra längden.
Vad innebär det att multiplicera ett komplext tal med e^(iϕ)?
Multiplikation med e^(iϕ) innebär en rotation av vektorn med vinkeln ϕ.
Vad händer när ett komplext tal multipliceras med i?
Multiplikation med i roterar vektorn 90° moturs. Upprepad multiplikation med i leder till ytterligare rotationer.
Hur tolkas upprepade multiplikationer med i?
- z ⋅ i² = z ⋅ (-1), vilket reflekterar vektorn över origo.
- z ⋅ i³ = -iz, vilket innebär en 270°-rotation.
- z ⋅ i⁴ = z, vilket innebär en fullständig rotation tillbaka till utgångspunkten.
Vad är De Moivres formel och hur används den?
De Moivres formel är (re^(iθ))ⁿ = rⁿ e^(i nθ), och används för att visualisera exponentiering och rotation av komplexa tal. Den beskriver hur vektorns längd och vinkel förändras vid upphöjning till potenser.
Hur genereras symmetriska mönster i det komplexa planet?
Vid upphöjning till potenser, som i ekvationen zⁿ = 1, genereras symmetriska mönster, där rötterna är jämnt fördelade på enhetscirkeln och bildar en regelbunden polygon.
Vad är lösningarna till ekvationen zⁿ = a?
Lösningarna till ekvationen zⁿ = a, där a är ett komplext tal, ges av zₖ = rₐ^(1/n) e^(i(θₐ + 2kπ)/n), där k = 0, 1, …, n-1.
Vad innebär symmetrin hos rötterna till ekvationen zⁿ = a?
Symmetrin hos rötterna innebär att varje rot kan erhållas genom en jämn rotation av den föregående, och de är jämnt fördelade i det komplexa planet.
