Enhetscirkeln: Definition, Konstruktion och Egenskaper Flashcards
Vad är en enhetscirkel?
En enhetscirkel är en cirkel med radien 1 och medelpunkt i origo, där ekvationen är x² + y² = 1.
Hur konstruerar man en enhetscirkel?
Rita en cirkel med medelpunkt i origo och markera vinklar från 0° till 360° (eller 0 till 2π radianer), definiera punkter längs cirkeln som (cos θ, sin θ).
Vad representerar punkterna på enhetscirkeln?
Punkterna på enhetscirkeln representerar värden av cos θ (x-koordinaten) och sin θ (y-koordinaten).
Vad är ett komplext tal?
Ett komplext tal är på formen z = a + bi, där a är den reella delen och b är den imaginära delen, med i som den imaginära enheten (i² = -1).
Hur beräknar man absolutbeloppet av ett komplext tal?
Absolutbeloppet |z| beräknas som √(a² + b²), där a och b är de reella och imaginära delarna av talet.
Vad är argumentet för ett komplext tal?
Argumentet för ett komplext tal z = a + bi är vinkeln θ = tan⁻¹(b/a), som talet z bildar med den positiva reella axeln.
Hur representeras komplexa tal på enhetscirkeln?
På enhetscirkeln representeras ett komplext tal z som z = cos θ + i sin θ, där cos θ är den reella delen och sin θ är den imaginära delen.
Vad är sin θ, cos θ och tan θ i enhetscirkeln?
sin θ: Höjden (y-värdet) av punkten på cirkeln.
• cos θ: Basen (x-värdet) av punkten på cirkeln.
• tan θ: Lutningen av linjen från origo till punkten, tan θ = sin θ / cos θ.
Hur ser polära koordinater ut för ett komplext tal?
Ett komplext tal z kan representeras som z = r(cos θ + i sin θ), där r är absolutbeloppet och θ är argumentet.
Ge ett exempel på polär form av ett komplext tal.
För z = 1 + i:
• r = √(1² + 1²) = √2. • θ = tan⁻¹(1/1) = π/4. Så, z = √2(cos π/4 + i sin π/4).
Vad är förhållandet mellan reella och imaginära axeln i det komplexa talplanet?
Reella axeln: x-axeln (Re(z)).
• Imaginära axeln: y-axeln (Im(z)).
Vad händer med cos θ och sin θ när θ ökar från 0 till 2π?
När θ ökar från 0 till 2π roterar punkten längs enhetscirkeln, och cos θ och sin θ förändras periodiskt, med cos θ som varierar mellan -1 och 1, och sin θ som också varierar mellan -1 och 1.
Vad är skillnaden mellan en reell och en imaginär del i ett komplext tal?
Den reella delen är den x-koordinaten i det komplexa talplanet, medan den imaginära delen är y-koordinaten och multipliceras med i, den imaginära enheten.
