Structures algébriques Flashcards
Sous groupe de (G, •)(Caractérisation)
H ⊂ G
H ≠ ∅
∀(x, y) ∈ H², x•y ∈ H
∀x ∈ H, x⁻¹ ∈ H
Sous anneau de (A, +, •)
Caractérisation
B ⊂ A
1A ∈ B
∀(x, y) ∈ B², x-y ∈ B et x•y ∈ B
(A, +, *) anneau commutatif non nul
I idéal de A
I ⊂ A
I ≠ ∅
∀(x, y) ∈ I², x-y ∈ I
∀x ∈ I, ∀a ∈ A, ax ∈ I
Rem : si I contient un élément inversible alors I = A
Soit (G, •) groupe et x appartenant à G
Comment définit-on l’ordre de x ?
Si x est d’ordre fini, son ordre est le plus petit entier n > 0 tel que xⁿ = e
Sinon x est d’ordre infini (n = 0 est la seule possibilité pour que xⁿ = e)
Indicatrice d’Euler
φ(n) = card {1 ≤ k ≤ n, k ∧ n = 1}
Si n est premier, φ(n) = n-1
Si n=Πpi^ai avec i qui va de 1 à r
Alors φ(n) = n*Π(1-1/pi)
Morphisme de groupes
Entre (G, *) et (G’, •)
f : G → G’ morphisme de groupes si
∀(x, y) ∈ G², f(x*y) = f(x)•f(y)
Propriétés du morphisme de groupes
Équivalence avec f injective
1) f(eG) = eG’
2) ∀x ∈ G, f(x⁻¹) = (f(x))⁻¹
3) H sous groupe de G alors f(H) sous groupe de G’
4) H’ sous groupe de G’ alors f⁻¹(H’) sous groupe de G
5) f injective <=> Ker f = {eG}
Signature d’une permutation σ
1) cas général et cas où σ = t1 …. tk
2) transposition
3) cycle c = (a1 __ ap)
4) signature de σσ’
1) ε(σ) = (-1)ⁱ où i est le nombre d’inversions de σ
Soit le nombre de {i, j} tel que [σ(i) - σ(j)]/(i-j) < 0
ε(σ) = (-1)^k
2) ε = -1
3) ε(c) = (-1)^(p-1)
4) ε(σσ’) = ε(σ)ε(σ’)
G groupe monogène
G groupe cyclique
1) monogène si ∃a ∈ G, G = gr(a)
2) si en plus a est d’ordre fini alors G est cyclique (G isomorphe à ℤ/or(a)ℤ)
3) si a est d’ordre infini alors G est isomorphe à ℤ
Sous corps de (K, +, •)
Caractérisation
K’ ⊂ K
K’ possède au moins deux éléments
∀(x, y) ∈ K’², x-y ∈ K’
∀(x, y) ∈ K’xK’{0}, x•(y⁻¹) ∈ K’
Théorème chinois
Généralisation
Si n est premier avec p alors (ℤ/npℤ, +, *) isomorphe à (ℤ/nℤ, +, *)x(ℤ/pℤ, +, *)
Si n₁, … , nᵣ 2 à 2 premiers entre eux
Alors ℤ/Πnᵢℤ est isomorphe à ℤ/n₁ℤ x … x ℤ/nᵣℤ
I un idéal de A est principal si
∃a ∈ I tel que I soit l’idéal engendré par a
Soit I = aA = {xa, x ∈ A}
(A, +, *) intègre
A commutatif
A ne possède pas de diviseur de zéro
C’est-à-dire que : ∀(x, y) ∈ A², x*y = 0 => x = 0 ou y = 0
(A, +, *) anneau
Élément nilpotent
a ∈ A{0} nilpotent si : ∃n ∈ ℕ, aⁿ = 0
Théorème d’Euler
1) ((ℤ/nℤ)*, ×) groupe des inversibles de (ℤ/nℤ) est de cardinal φ(n)
2) ∀x∈ℤ, x∧n = 1 => x^(φ(n)) ≡ 1 [n]
Définition d’une relation d’équivalence R sur E
une relation est une partie de E×E
réflexive : ∀x ∈ E, xRx
transitive : ∀(x, y, z) ∈ E³, (xRy et yRz) => xRz
symétrique : ∀(x, y) ∈ E², xRy => yRx
Soit x ∈ E, définition de la classe d’équivalence de x
cl(x) = {y ∈ E, xRy}
E un ensemble non vide
Définition d’une partition de E
(Aᵢ)ᵢ famille de parties de E vérifiant
∀i ∈ I, Aᵢ ≠ ∅
∀(i, r) ∈ I², i ≠ r => Aᵢ ∩ Aᵣ = ∅
∪Aᵢ = E
Définition d’une relation d’ordre R sur E
réflexive : ∀x ∈ E, xRx
transitive : ∀(x, y, z) ∈ E³, (xRy et yRz) => xRz
antisymétrique : ∀(x, y) ∈ E², xRy et yRx => x = y
Définition de l’ensemble quotient
{ cl(x), x ∈E }
Card E = Card F
<=> ∃f : E → F bijective
Existence de surjection de E sur P(E) ?
Non
Card E ≤ Card F
<=> ∃f : E → F injective
Définition : I dénombrable
Il existe une bijection de I sur ℕ
I un ensemble est fini ou dénombrable (équivalence)
∃(Jᵢ)ᵢ croissante (dans le sens de l’inclusion) tq ∀i∈ℕ, Jᵢ fini et ∪Jᵢ = I
f : ℕ → E est surjective : conséquence pour E
E est fini ou dénombrable
A et B dénombrables, conséquence pour A x B
Alors A x B est dénombrable
I non vide, fini ou dénombrable
(Aᵢ)ᵢ avec ∀i∈I, Aᵢ fini ou dénombrable
Alors ∪Aᵢ fini ou dénombrable
Définition d’un groupe G
Ensemble muni d’une loi de composition interne *
associative : ∀(x, y, z) ∈ G³, x(yz) = (xy)z
possédant un élément neutre e : ∀x ∈ G, xe = ex = x
tq tout élément possède un symétrique : x’ symétrique de x si x’ * x = x * x’ = e
G groupe fini et a∈G (conséquence pour l’ordre de a)
L’ordre de a divise Card G
Définition d’un anneau
Ensemble muni de deux lois de composition interne + et * tq (A, +) est un groupe commutatif * est associative * distributive par rapport à + * possède un élément neutre 1A
(A, +, ×) et (A’, ⋅, *) deux anneaux
Définition d’un morphisme d’anneaux
∀(x, y) ∈ A², f(x+y) = f(x) ⋅ f(y)
∀(x, y) ∈ A², f(x×y) = f(x) * f(y)
f(1A) = 1A’
Idéaux de ℤ
Ce sont les nℤ (n∈ℕ). Tous les idéaux de ℤ sont principaux
x|y : lien avec les idéaux
x|y <=> y∈I(x) <=> I(y) ⊂ I(x)
Définition : x∈A est irréductible si
x∉A*
∀(y, z) ∈ A², x = yz => y∈A* ou z∈A*
Théorème de Bézout
(a, b) ∈ ℤ², a∧b = 1 <=> ∃(u, v) ∈ ℤ², au + bv = 1
Théorème de Gauss
(a, b, c) ∈ ℤ³, a | bc et a∧b = 1 => a | c
Idéal engendré par B ⊂ A
I(B) = ∩ I (I idéal de A, I ⊃ B)
C’est le plus petit idéal de A contenant B
A un anneau et X ⊂ A avec X ≠ ∅
Idéal engendré par X
Idéal engendré par {a₁, _ , aᵢ}
I(X) = {y∈A | ∃n∈ℕ*, ∃(a₁, _ , an, x₁, _ , xn)∈Aⁿ × Xⁿ, y = Σaᵢ * xᵢ}
I({a₁, _ , aᵢ}) = {a₁ * x₁ + _ + aᵢ * xᵢ, (x₁, _ , xᵢ)∈Aⁱ} = a₁ * A + _ + aᵢ *A
I₁ et I₂ deux idéaux de A
Idéal engendré par I₁ ∪ I₂
I( I₁ ∪ I₂ ) = I₁ + I₂
Soit (G,•) un groupe et a∈G d’ordre n
Conséquence pour (gr(a),•)
(gr(a),•) est isomorphe à (ℤ/nℤ, +)
Card Sn
Card Sn = n!
Trois propriétés de Sn
1) cycle de longueur p
2) transpositions
3) cycles
1) Si σ est un cycle de longueur p alors σ est d’ordre p
2) Tout élément de Sn se décompose en produit de transpositions
3) Tout élément de Sn se décompose en produit de cycle à supports disjoints
Soit q un entier inférieur à n. Condition pour que cl(q) soit un générateur de ℤ/nℤ
gr(cl(q)) = ℤ/nℤ <=> q∧n = 1
An groupe alterné d’indice n (définition et cardinal)
An = Ker ε = {permutation produit d’un nombre pair de transpositions}
Card An = n!/2
An est un groupe
