Structures algébriques

Question 1

Sous groupe de (G, •)(Caractérisation)

Answer 1

H ⊂ G
H ≠ ∅
∀(x, y) ∈ H², x•y ∈ H
∀x ∈ H, x⁻¹ ∈ H

Question 2

Sous anneau de (A, +, •)

Caractérisation

Answer 2

B ⊂ A
1A ∈ B
∀(x, y) ∈ B², x-y ∈ B et x•y ∈ B

Question 3

(A, +, *) anneau commutatif non nul

I idéal de A

Answer 3

I ⊂ A
I ≠ ∅
∀(x, y) ∈ I², x-y ∈ I
∀x ∈ I, ∀a ∈ A, ax ∈ I

Rem : si I contient un élément inversible alors I = A

Question 4

Soit (G, •) groupe et x appartenant à G

Comment définit-on l’ordre de x ?

Answer 4

Si x est d’ordre fini, son ordre est le plus petit entier n > 0 tel que xⁿ = e

Sinon x est d’ordre infini (n = 0 est la seule possibilité pour que xⁿ = e)

Question 5

Indicatrice d’Euler

Answer 5

φ(n) = card {1 ≤ k ≤ n, k ∧ n = 1}

Si n est premier, φ(n) = n-1
Si n=Πpi^ai avec i qui va de 1 à r
Alors φ(n) = n*Π(1-1/pi)

Question 6

Morphisme de groupes

Entre (G, *) et (G’, •)

Answer 6

f : G → G’ morphisme de groupes si

∀(x, y) ∈ G², f(x*y) = f(x)•f(y)

Question 7

Propriétés du morphisme de groupes

Équivalence avec f injective

Answer 7

1) f(eG) = eG’
2) ∀x ∈ G, f(x⁻¹) = (f(x))⁻¹
3) H sous groupe de G alors f(H) sous groupe de G’
4) H’ sous groupe de G’ alors f⁻¹(H’) sous groupe de G
5) f injective <=> Ker f = {eG}

Question 8

Signature d’une permutation σ

1) cas général et cas où σ = t1 …. tk
2) transposition
3) cycle c = (a1 __ ap)
4) signature de σσ’

Answer 8

1) ε(σ) = (-1)ⁱ où i est le nombre d’inversions de σ
Soit le nombre de {i, j} tel que [σ(i) - σ(j)]/(i-j) < 0
ε(σ) = (-1)^k
2) ε = -1
3) ε(c) = (-1)^(p-1)
4) ε(σσ’) = ε(σ)ε(σ’)

Question 9

G groupe monogène

G groupe cyclique

Answer 9

1) monogène si ∃a ∈ G, G = gr(a)
2) si en plus a est d’ordre fini alors G est cyclique (G isomorphe à ℤ/or(a)ℤ)
3) si a est d’ordre infini alors G est isomorphe à ℤ

Question 10

Sous corps de (K, +, •)

Caractérisation

Answer 10

K’ ⊂ K
K’ possède au moins deux éléments
∀(x, y) ∈ K’², x-y ∈ K’
∀(x, y) ∈ K’xK’{0}, x•(y⁻¹) ∈ K’

Question 11

Théorème chinois

Généralisation

Answer 11

Si n est premier avec p alors (ℤ/npℤ, +, *) isomorphe à (ℤ/nℤ, +, *)x(ℤ/pℤ, +, *)

Si n₁, … , nᵣ 2 à 2 premiers entre eux
Alors ℤ/Πnᵢℤ est isomorphe à ℤ/n₁ℤ x … x ℤ/nᵣℤ

Question 12

I un idéal de A est principal si

Answer 12

∃a ∈ I tel que I soit l’idéal engendré par a

Soit I = aA = {xa, x ∈ A}

Question 13

(A, +, *) intègre

Answer 13

A commutatif
A ne possède pas de diviseur de zéro
C’est-à-dire que : ∀(x, y) ∈ A², x*y = 0 => x = 0 ou y = 0

Question 14

(A, +, *) anneau

Élément nilpotent

Answer 14

a ∈ A{0} nilpotent si : ∃n ∈ ℕ, aⁿ = 0

Question 15

Théorème d’Euler

Answer 15

1) ((ℤ/nℤ)*, ×) groupe des inversibles de (ℤ/nℤ) est de cardinal φ(n)
2) ∀x∈ℤ, x∧n = 1 => x^(φ(n)) ≡ 1 [n]

Question 16

Définition d’une relation d’équivalence R sur E

une relation est une partie de E×E

Answer 16

réflexive : ∀x ∈ E, xRx
transitive : ∀(x, y, z) ∈ E³, (xRy et yRz) => xRz
symétrique : ∀(x, y) ∈ E², xRy => yRx

Question 17

Soit x ∈ E, définition de la classe d’équivalence de x

Answer 17

cl(x) = {y ∈ E, xRy}

Question 18

E un ensemble non vide

Définition d’une partition de E

Answer 18

(Aᵢ)ᵢ famille de parties de E vérifiant
∀i ∈ I, Aᵢ ≠ ∅
∀(i, r) ∈ I², i ≠ r => Aᵢ ∩ Aᵣ = ∅
∪Aᵢ = E

Question 19

Définition d’une relation d’ordre R sur E

Answer 19

réflexive : ∀x ∈ E, xRx
transitive : ∀(x, y, z) ∈ E³, (xRy et yRz) => xRz
antisymétrique : ∀(x, y) ∈ E², xRy et yRx => x = y

Question 20

Définition de l’ensemble quotient

Answer 20

{ cl(x), x ∈E }

Question 21

Card E = Card F

Answer 21

<=> ∃f : E → F bijective

Question 22

Existence de surjection de E sur P(E) ?

Answer 22

Non

Question 23

Card E ≤ Card F

Answer 23

<=> ∃f : E → F injective

Question 24

Définition : I dénombrable

Answer 24

Il existe une bijection de I sur ℕ

Question 25

I un ensemble est fini ou dénombrable (équivalence)

Answer 25

∃(Jᵢ)ᵢ croissante (dans le sens de l’inclusion) tq ∀i∈ℕ, Jᵢ fini et ∪Jᵢ = I

Question 26

f : ℕ → E est surjective : conséquence pour E

Answer 26

E est fini ou dénombrable

Question 27

A et B dénombrables, conséquence pour A x B

Answer 27

Alors A x B est dénombrable

Question 28

I non vide, fini ou dénombrable

(Aᵢ)ᵢ avec ∀i∈I, Aᵢ fini ou dénombrable

Answer 28

Alors ∪Aᵢ fini ou dénombrable

Question 29

Définition d’un groupe G

Answer 29

Ensemble muni d’une loi de composition interne *
associative : ∀(x, y, z) ∈ G³, x(yz) = (xy)z
possédant un élément neutre e : ∀x ∈ G, xe = ex = x
tq tout élément possède un symétrique : x’ symétrique de x si x’ * x = x * x’ = e

Question 30

G groupe fini et a∈G (conséquence pour l’ordre de a)

Answer 30

L’ordre de a divise Card G

Question 31

Définition d’un anneau

Answer 31

Ensemble muni de deux lois de composition interne + et * tq 
(A, +) est un groupe commutatif
* est associative
* distributive par rapport à +
* possède un élément neutre 1A

Question 32

(A, +, ×) et (A’, ⋅, *) deux anneaux

Définition d’un morphisme d’anneaux

Answer 32

∀(x, y) ∈ A², f(x+y) = f(x) ⋅ f(y)
∀(x, y) ∈ A², f(x×y) = f(x) * f(y)
f(1A) = 1A’

Question 33

Idéaux de ℤ

Answer 33

Ce sont les nℤ (n∈ℕ). Tous les idéaux de ℤ sont principaux

Question 34

x|y : lien avec les idéaux

Answer 34

x|y <=> y∈I(x) <=> I(y) ⊂ I(x)

Question 35

Définition : x∈A est irréductible si

Answer 35

x∉A*

∀(y, z) ∈ A², x = yz => y∈A* ou z∈A*

Question 36

Théorème de Bézout

Answer 36

(a, b) ∈ ℤ², a∧b = 1 <=> ∃(u, v) ∈ ℤ², au + bv = 1

Question 37

Théorème de Gauss

Answer 37

(a, b, c) ∈ ℤ³, a | bc et a∧b = 1 => a | c

Question 38

Idéal engendré par B ⊂ A

Answer 38

I(B) = ∩ I (I idéal de A, I ⊃ B)

C’est le plus petit idéal de A contenant B

Question 39

A un anneau et X ⊂ A avec X ≠ ∅
Idéal engendré par X
Idéal engendré par {a₁, _ , aᵢ}

Answer 39

I(X) = {y∈A | ∃n∈ℕ*, ∃(a₁, _ , an, x₁, _ , xn)∈Aⁿ × Xⁿ, y = Σaᵢ * xᵢ}
I({a₁, _ , aᵢ}) = {a₁ * x₁ + _ + aᵢ * xᵢ, (x₁, _ , xᵢ)∈Aⁱ} = a₁ * A + _ + aᵢ *A

Question 40

I₁ et I₂ deux idéaux de A

Idéal engendré par I₁ ∪ I₂

Answer 40

I( I₁ ∪ I₂ ) = I₁ + I₂

Question 41

Soit (G,•) un groupe et a∈G d’ordre n

Conséquence pour (gr(a),•)

Answer 41

(gr(a),•) est isomorphe à (ℤ/nℤ, +)

Question 42

Card Sn

Answer 42

Card Sn = n!

Question 43

Trois propriétés de Sn

1) cycle de longueur p
2) transpositions
3) cycles

Answer 43

1) Si σ est un cycle de longueur p alors σ est d’ordre p
2) Tout élément de Sn se décompose en produit de transpositions
3) Tout élément de Sn se décompose en produit de cycle à supports disjoints

Question 44

Soit q un entier inférieur à n. Condition pour que cl(q) soit un générateur de ℤ/nℤ

Answer 44

gr(cl(q)) = ℤ/nℤ <=> q∧n = 1

Question 45

An groupe alterné d’indice n (définition et cardinal)

Answer 45

An = Ker ε = {permutation produit d’un nombre pair de transpositions}
Card An = n!/2
An est un groupe