Équations différentielles

Question 1

(E) : a(t)x' + b(t)x = c(t)
a, b, c : I → F
Solution de (EH)

Answer 1

S = {λexp(-F(t)), λ∈K}

où F est une primitive de b/a

Question 2

(E) : a(t)x’ + b(t)x = c(t)
a, b, c : I → F
Méthode de variation de la constante

Answer 2

On dispose d’une solution z de (EH)
On cherche une solution de (E) sous la forme :
x(t) = λ(t)z(t)
On veut donc a(t)λ’(t)z(t) = c(t)

Question 3

(E) : x’ = a(t)x + b(t)
a : I → L(F) et b : I → F continues
Si y solution de (E)
Équivalence z∈C¹(I, F) solution de (E)

Answer 3

<=> z-y solution de (EH)

Question 4

x₁, … , xᵣ système fondamental de solution (= base de Eh) de (E) : x’ = a(t)x + b(t)
a : I → L(F) et b : I → F continues
Deux équivalences

Answer 4

<=> ∃t₀∈I, detB(x₁(t₀), … , xᵣ(t₀)) ≠ 0
<=> ∀t∈I, detB(x₁(t), … , xᵣ(t)) ≠ 0
B étant une base de F

Question 5

x₁, … , xᵣ système fondamental de solution de (E) : x’ = a(t)x + b(t)
a : I → L(F) et b : I → F continues

Answer 5

On cherche une solution de (E) sous la forme x(t)=Σαᵢ(t)xᵢ(t)
Nécessairement αᵢ’(t) = detB(x₁(t), … ,xᵢ₋₁(t), b(t), xᵢ₊₁(t), … , xᵣ(t)) / detB(x₁(t), … , xᵣ(t))

Question 6

a∈L(F), θ : ℝ→L(F) tq θ(t) = exp(ta)

θ’(t)

Answer 6

θ’(t) = aexp(ta) = exp(ta)a

valable avec des matrices

Question 7

(E) : x' = ax + b(t)
a∈L(F) et b : I → F continue (coefficient constant)
Solutions de (EH)

Answer 7

S = {x₀*exp(ta), x₀∈F}

Question 8

(E) : x’ = ax + b(t)
a∈L(F) et b : I → F continue (coefficient constant)
Méthode de variation de la constante

Answer 8

On cherche x solution de (E) sous la forme x(t)=y(t)*exp(ta)

Alors y’(t) = exp(-ta)*b(t)

Question 9

Soit A diagonalisable, A = PDiag(λᵢ)P⁻¹

Solutions de X’ = AX

Answer 9

t → α₁exp(λ₁t)C₁ + … + αᵣexp(λᵣt)Cᵣ
(C₁ , … , Cᵣ) base propre pour A (souvent ce sont les vecteurs colonnes de P)
et α₁, … , αᵣ ∈ K

Question 10

(E) : a(t)x” + b(t)x’ + c(t)x = d(t)
a, b, c, d : I → K continues avec ∀t∈I, a(t) ≠ 0
Si y solution de (E)
Équivalence z∈C²(I, K) solution de (E)

Answer 10

<=> z-y solution de (EH)

Question 11

(E) : a(t)x” + b(t)x’ + c(t)x = d(t)
a, b, c, d : I → K continues avec ∀t∈I, a(t) ≠ 0
Méthode de variation des constantes

Answer 11

(x₁, x₂) base de Eh
On cherche x solution de E sous la forme x(t) = λ(t)x₁ + μ(t)x₂
On cherche λ et μ tels que λ’x₁ + μ’x₂ = 0 et a(t)(λ’x₁’ + μ’x₂’) = d(t)

Question 12

2 expressions du Wronskien

Answer 12

(x₁, x₂) base de Eh
W(t) = x₁x₂’ - x₁’x₂
W’(t) + b(t)/a(t) * W(t) = 0

Question 13

x solution ne s'annulant pas de (EH) : a(t)x" + b(t)x' + c(t)x = 0
a, b, c, d : I → K continues avec ∀t∈I, a(t) ≠ 0
Solutions de (E)

Answer 13

On cherche une solution de (E) sous la forme y(t) = λ(t)x(t)
y solution de (E) <=> a(t)λ”x + (2a(t)x’ + b(t)x)*λ’ = d(t)
(équation différentielle d’ordre 1 en λ’)

Question 14

(EH) : a(t)x” + b(t)x’ + c(t)x = 0
(a, b, c)∈K*×K² (coefficients constants)
Solutions (3 cas)

Answer 14

Racines distinctes : z(t) = λexp(r₁t) + μexp(r₂t)
Racines doubles : z(t) = (λ + μt)exp(r₀t)
Racines complexes α±iβ pour K = ℝ :
z(t) = (λsin(βt) + μ*cos(βt)) * exp(αt)

Question 15

(E) : a(t)x” + b(t)x’ + c(t)x = d(t)
(a, b, c)∈K*×K² (coefficients constants)
Solution particulière si d(t) = exp(αt) * P(t) où P∈K[X]

Answer 15

Il existe une solution de la forme x(t) = exp(αt) * Q(t)
avec Q∈K[X] et deg Q = m(α) + deg P
m(α) étant la multiplicité de α comme racine de ar² + br + c = 0

Question 16

(E) : anx⁽ⁿ⁾ + … + a₁x’ + a₀x = d(t)
avec (a₀, … , an)∈Kⁿ×K
et d : I → K continue
Ensemble des solutions de (EH)

Answer 16

Eh espace vectoriel de dimension n
Si x solution alors x' aussi
Soit Φ: x→x' de valeurs propres λ₁, ... , λᵣ
mᵢ étant la multiplicité de λᵢ
Eh = {t→Σexp(λᵢt) * Qᵢ(t), Qᵢ∈Kmᵢ-1[X]}

Question 17

Théorème de Cauchy-Lipschitz

Answer 17

(t₀, x₀)∈I×F
Il existe une unique solution au problème (P) :
x’ = a(t)x + b(t)
x(t₀) = x₀

Question 18

Inéquation différentielle :
y' = a(t)y + b(t)
z' ≤ a(t)z + b(t)
y(0) = z(0)
Montrer que z(t) ≤ y(t)

Answer 18

z’ - y’ ≤ a(t)(z-y)
z’ - y’ - a(t)(z-y) ≤ 0
A(t) = ∫ a(u)du [intégrale entre 0 et t]
exp(-A(t)) * (z’-y’) - a(t)*exp(-A(t)) * (z-y) ≤ 0
Soit ( exp(-A(t)) * (z-y) )’ ≤ 0
Donc f : t → exp(-A(t)) * (z(t)-y(t)) est décroissante
Or f(0) = 0. Donc pour tout t ≥ 0, f(t) ≤ 0. Puis z(t) ≤ y(t)