Séries Flashcards
La série ∑un converge (définition)
<=> (Sn)n converge avec Sn = ∑uk (k variant de 0 à n)
La série ∑zⁿ converge
<=> |z| < 1
Dans ce cas, S = 1/(1-z)
Comportement de la série ∑1/k
Équivalence de la somme partielle
Diverge
Σ 1/k [k variant entre 1 et n] = ln n + γ + 1/2n + o(1/n)
Comportement de la série ∑(-1)^(k-1) * 1/k
Converge et S = ln 2
Démonstration : Montrer que S₂n = H₂n - Hn puis calculer avec développement de Hn
Lien suite-série :
Équivalence (un)n converge
∑[u(n+1) - un] converge
Dans ce cas S = lim un - u₀
Lien suite-série :
Implication ∑un converge
lim un = 0
Rn (définition + limite)
Rn = S - Sn = ∑uk (k variant de n+1 à +∞)
lim Rn = 0
∑un une série à termes positifs converge (équivalence)
<=> (Sn)n est majorée
Sommation des relations de comparaisons
∑un et ∑vn deux séries à termes positifs
un = O(vn)
Même raisonnement avec o
∑vn converge => ∑un converge
Alors ∑uk (k variant de n+1 à +∞) = O(∑vk (k variant de n+1 à +∞))
∑un diverge => ∑vn diverge
Alors ∑uk (k variant de 0 à n) = O(∑vk (k variant de 0 à n))
Sommation des relations de comparaisons
∑un et ∑vn deux séries à termes positifs
un ∼ vn
Si convergence alors ∑uk (k variant de n+1 à +∞) ∼ ∑vk (k variant de n+1 à +∞)
Si divergence alors ∑uk (k variant de 0 à n) ∼ ∑vk (k variant de 0 à n)
Règle de d’Alembert
∑un une série à termes positifs (un > 0 APCR) et u(n+1) / un → l ∈ [0; +∞[U{+∞}
l < 1 => ∑un converge
l > 1 => ∑un diverge grossièrement
l = 1 => on ne peut pas conclure
Série de Riemann
∑ 1/n^α converge <=> α > 1
Comparaison série-intégrale
f : ℝ+ → ℝ+ continue par morceaux, décroissante
∑ f(k) converge (2 équivalences)
<=> ( ∫f(t)dt entre 0 et n)n converge
<=> la suite précédente est majorée
Comparaison à une série de Riemann pour ∑un STP
α > 1 et n^α * un → l ∈ [0; +∞[ alors ∑un converge
α ≤ 1 et n^α * un → l > 0 (l peut valoir +∞) alors ∑un diverge
E evn de dim finie, ∑un série d’élmts de E converge absolument (définition)
<=> ∑||un|| converge
En dim finie, ∑un série d’élmts de E converge absolument : implication pour ∑un
=> ∑un converge
Si ∑un converge absolument (conséquence avec les normes)
||∑uk (k variant de p à +∞)|| ≤ ∑||uk|| (k variant de p à +∞)
Déf série réelle alternée
Elle est de la forme ∑(-1)ⁿ * |un| ou ∑(-1)ⁿ⁺¹ * |un|
Théorème spécial des séries alternées
∑un série alternée, (|un|)n décroissante qui tend vers 0
Alors ∑un converge
∑un vérifie le critère des séries alternées (2 conséquences)
∑uk (k variant de p à +∞) est du signe de up
| ∑uk (k variant de p à +∞) | ≤ |up|
Déf produit de Cauchy dans une algèbre de dim finie
∑cn série produit de Cauchy de ∑an et ∑bn si
cn = ∑ap*bq (p, q variant entre 0 et n et tq p+q = n)
∑an et ∑bn 2 STP, réelles convergentes
Que dire de la série produit de Cauchy
Elle converge et ∑cn (n variant de 0 à +∞) = ∑an (n variant de 0 à +∞) * ∑bn (n variant de 0 à +∞)
∑ zⁿ / n!
Converge absolument et sa somme vaut exp(z)
I dénombrable, (uᵢ)i∈I famille de réels positifs sommable (déf)
∃M > 0, ⱯJ⊂I, J fini => ∑uᵢ (i∈J) ≤ M
On pose alors ∑uᵢ (i∈I) = sup ∑uᵢ (i∈J)
I dénombrable, (uᵢ)i∈I famille de réels positifs sommable
<=> il existe (Jn)n croissante telle que pour tout n∈ℕ, Jn⊂I et Jn fini et telle que UJn = I, vérifiant (∑uᵢ (i∈Jn) )n majorée
I dénombrable, (uᵢ)i∈I famille de K sommable (déf)
(|uᵢ|)i∈I sommable
Si I = ℕ <=> Série ∑uᵢ absolument convergente
I dénombrable, (uᵢ)i∈I famille de ℝ sommable
(uᵢ +)i∈I et (uᵢ -)i∈I sommables
Alors ∑ui (i∈I) = ∑uᵢ + (i∈I) - ∑uᵢ - (i∈I)
I dénombrable, (uᵢ)i∈I famille de ℂ sommable
(Re uᵢ)i∈I et (Im uᵢ)i∈I sommables
Alors ∑uᵢ (i∈I) = ∑Re uj (j∈I) + i * ∑Im uj (j∈I)
I dénombrable, (uᵢ)i∈I et (vᵢ)i∈I familles de K sommables et λ∈K
Linéarité
I dénombrable, (uᵢ)i∈I famille de K sommable
prop sur la somme et la valeur absolue
Alors |∑uᵢ (i∈I)| ≤ ∑|uᵢ| (i∈I)
I dénombrable, (uᵢ)i∈I famille de K sommable
σ permutation de I
Invariance par permutation
(uσ(i))ᵢ∈I sommable et la somme est la même
I dénombrable avec (In)n partition de I, (uᵢ)i∈I famille de K sommable
(sommation par paquet)
<=> Ɐn∈ℕ, (uᵢ)i∈In sommable et la série ∑ (∑|uᵢ| (i∈In) ) converge
Sommation par paquet si I = ℕ²
(up,q) sommable
<=> Ɐp∈ℕ, la série (pour q) ∑|up,q| converge et la série (pour p) ∑ (∑|up,q| (q variant de 0 à +∞) ) converge
<=> même chose en inversant p et q
ζ(2)
fonction zeta de Riemann
∑1/k² (k variant de 1 à +∞) = π²/6
Comparaison série-intégrale
f : ℝ+ → ℝ+ continue par morceaux, décroissante
Alors Σ ( ∫f(t)dt [intégration entre n-1 et n] - f(n) ) converge
