Séries

Question 1

La série ∑un converge (définition)

Answer 1

<=> (Sn)n converge avec Sn = ∑uk (k variant de 0 à n)

Question 2

La série ∑zⁿ converge

Answer 2

<=> |z| < 1

Dans ce cas, S = 1/(1-z)

Question 3

Comportement de la série ∑1/k

Équivalence de la somme partielle

Answer 3

Diverge

Σ 1/k [k variant entre 1 et n] = ln n + γ + 1/2n + o(1/n)

Question 4

Comportement de la série ∑(-1)^(k-1) * 1/k

Answer 4

Converge et S = ln 2

Démonstration : Montrer que S₂n = H₂n - Hn puis calculer avec développement de Hn

Question 5

Lien suite-série :

Équivalence (un)n converge

Answer 5

∑[u(n+1) - un] converge

Dans ce cas S = lim un - u₀

Question 6

Lien suite-série :

Implication ∑un converge

Answer 6

lim un = 0

Question 7

Rn (définition + limite)

Answer 7

Rn = S - Sn = ∑uk (k variant de n+1 à +∞)

lim Rn = 0

Question 8

∑un une série à termes positifs converge (équivalence)

Answer 8

<=> (Sn)n est majorée

Question 9

Sommation des relations de comparaisons
∑un et ∑vn deux séries à termes positifs
un = O(vn)
Même raisonnement avec o

Answer 9

∑vn converge => ∑un converge
Alors ∑uk (k variant de n+1 à +∞) = O(∑vk (k variant de n+1 à +∞))
∑un diverge => ∑vn diverge
Alors ∑uk (k variant de 0 à n) = O(∑vk (k variant de 0 à n))

Question 10

Sommation des relations de comparaisons
∑un et ∑vn deux séries à termes positifs
un ∼ vn

Answer 10

Si convergence alors ∑uk (k variant de n+1 à +∞) ∼ ∑vk (k variant de n+1 à +∞)
Si divergence alors ∑uk (k variant de 0 à n) ∼ ∑vk (k variant de 0 à n)

Question 11

Règle de d’Alembert

Answer 11

∑un une série à termes positifs (un > 0 APCR) et u(n+1) / un → l ∈ [0; +∞[U{+∞}
l < 1 => ∑un converge
l > 1 => ∑un diverge grossièrement
l = 1 => on ne peut pas conclure

Question 12

Série de Riemann

Answer 12

∑ 1/n^α converge <=> α > 1

Question 13

Comparaison série-intégrale
f : ℝ+ → ℝ+ continue par morceaux, décroissante
∑ f(k) converge (2 équivalences)

Answer 13

<=> ( ∫f(t)dt entre 0 et n)n converge

<=> la suite précédente est majorée

Question 14

Comparaison à une série de Riemann pour ∑un STP

Answer 14

α > 1 et n^α * un → l ∈ [0; +∞[ alors ∑un converge

α ≤ 1 et n^α * un → l > 0 (l peut valoir +∞) alors ∑un diverge

Question 15

E evn de dim finie, ∑un série d’élmts de E converge absolument (définition)

Answer 15

<=> ∑||un|| converge

Question 16

En dim finie, ∑un série d’élmts de E converge absolument : implication pour ∑un

Answer 16

=> ∑un converge

Question 17

Si ∑un converge absolument (conséquence avec les normes)

Answer 17

||∑uk (k variant de p à +∞)|| ≤ ∑||uk|| (k variant de p à +∞)

Question 18

Déf série réelle alternée

Answer 18

Elle est de la forme ∑(-1)ⁿ * |un| ou ∑(-1)ⁿ⁺¹ * |un|

Question 19

Théorème spécial des séries alternées

Answer 19

∑un série alternée, (|un|)n décroissante qui tend vers 0

Alors ∑un converge

Question 20

∑un vérifie le critère des séries alternées (2 conséquences)

Answer 20

∑uk (k variant de p à +∞) est du signe de up

| ∑uk (k variant de p à +∞) | ≤ |up|

Question 21

Déf produit de Cauchy dans une algèbre de dim finie

Answer 21

∑cn série produit de Cauchy de ∑an et ∑bn si

cn = ∑ap*bq (p, q variant entre 0 et n et tq p+q = n)

Question 22

∑an et ∑bn 2 STP, réelles convergentes

Que dire de la série produit de Cauchy

Answer 22

Elle converge et ∑cn (n variant de 0 à +∞) = ∑an (n variant de 0 à +∞) * ∑bn (n variant de 0 à +∞)

Question 23

∑ zⁿ / n!

Answer 23

Converge absolument et sa somme vaut exp(z)

Question 24

I dénombrable, (uᵢ)i∈I famille de réels positifs sommable (déf)

Answer 24

∃M > 0, ⱯJ⊂I, J fini => ∑uᵢ (i∈J) ≤ M

On pose alors ∑uᵢ (i∈I) = sup ∑uᵢ (i∈J)

Question 25

I dénombrable, (uᵢ)i∈I famille de réels positifs sommable

Answer 25

<=> il existe (Jn)n croissante telle que pour tout n∈ℕ, Jn⊂I et Jn fini et telle que UJn = I, vérifiant (∑uᵢ (i∈Jn) )n majorée

Question 26

I dénombrable, (uᵢ)i∈I famille de K sommable (déf)

Answer 26

(|uᵢ|)i∈I sommable

Si I = ℕ <=> Série ∑uᵢ absolument convergente

Question 27

I dénombrable, (uᵢ)i∈I famille de ℝ sommable

Answer 27

(uᵢ +)i∈I et (uᵢ -)i∈I sommables

Alors ∑ui (i∈I) = ∑uᵢ + (i∈I) - ∑uᵢ - (i∈I)

Question 28

I dénombrable, (uᵢ)i∈I famille de ℂ sommable

Answer 28

(Re uᵢ)i∈I et (Im uᵢ)i∈I sommables

Alors ∑uᵢ (i∈I) = ∑Re uj (j∈I) + i * ∑Im uj (j∈I)

Question 29

I dénombrable, (uᵢ)i∈I et (vᵢ)i∈I familles de K sommables et λ∈K

Answer 29

Linéarité

Question 30

I dénombrable, (uᵢ)i∈I famille de K sommable

prop sur la somme et la valeur absolue

Answer 30

Alors |∑uᵢ (i∈I)| ≤ ∑|uᵢ| (i∈I)

Question 31

I dénombrable, (uᵢ)i∈I famille de K sommable

σ permutation de I

Answer 31

Invariance par permutation

(uσ(i))ᵢ∈I sommable et la somme est la même

Question 32

I dénombrable avec (In)n partition de I, (uᵢ)i∈I famille de K sommable
(sommation par paquet)

Answer 32

<=> Ɐn∈ℕ, (uᵢ)i∈In sommable et la série ∑ (∑|uᵢ| (i∈In) ) converge

Question 33

Sommation par paquet si I = ℕ²

Answer 33

(up,q) sommable
<=> Ɐp∈ℕ, la série (pour q) ∑|up,q| converge et la série (pour p) ∑ (∑|up,q| (q variant de 0 à +∞) ) converge
<=> même chose en inversant p et q

Question 34

ζ(2)

fonction zeta de Riemann

Answer 34

∑1/k² (k variant de 1 à +∞) = π²/6

Question 35

Comparaison série-intégrale

f : ℝ+ → ℝ+ continue par morceaux, décroissante

Answer 35

Alors Σ ( ∫f(t)dt [intégration entre n-1 et n] - f(n) ) converge