Espaces vectoriels normés Flashcards
S convexe
Ɐ A, B ∈ S, [AB] = { tA + (1-t)B, t ∈ [0; 1] } ⊂ S
N : E → ℝ norme
1) Ɐx∈E, N(x) ≥ 0
2) Ɐx∈E, N(x) = 0 => x = 0 (séparation)
3) Ɐx∈E, Ɐλ∈K, N(λx) = |λ|*N(x) (homogénéité)
4) Ɐ(x, y)∈E², N(x+y) ≤ N(x) + N(y)
f : ExE → ℝ produit scalaire
1) f bilinéaire
2) f symétrique : Ɐ(x, y)∈E², f(x, y) = f(y, x)
3) f positive : Ɐx∈E, f(x, x) ≥ 0
4) f définie : Ɐx∈E, f(x, x) = 0 => x = 0
Normes usuelles sur Kⁿ
||x||₁ = ∑ |xᵢ| ||x||₂ = √( ∑ |xᵢ|² ) ||x||∞ = max |xᵢ|
Normes sur C([a; b], K)
||f||₁ = ∫ |f(t)| dt ||f||₂ = √( ∫ |f(t)|² dt ) ||f||∞ = max |f(t)|
Inégalité Cauchy-Schwarz
Ɐ(x, y)∈E², |(x | y)| ≤ ||x||*||y||
Boule ouverte de rayon r > 0 et de centre a
B(a, r) = {x∈E, N(x-a) < r}
convexe
Diamètre de A
S(A) = sup N(x-y)
(un)n cv vers l
Ɐε>0, ∃n₀∈N, Ɐn∈N, n≥n₀ => N(un - l) ≤ ε
N et N’ normes équivalentes sur E
∃0 < α ≤ β, αN ≤ N’ ≤ βN
Théorème : Toutes les normes sont équivalentes sur un espace vectoriel de dimension finie
(un)n suite de E, (an)n suite de réels
un = O(an)
∃(M, n₀)∈RxN, Ɐn∈N, n≥n₀ => N(un) ≤ M*|an|
(un)n suite de E, (an)n suite de réels
un = o(an)
Ɐε>0, ∃n₀∈N, Ɐn∈N, n≥n₀ => N(un) ≤ ε*|an|
(un)n et (vn)n suites de E
un ∼ vn
(un - vn) = o(N(un))
V voisinage de x₀
∃r >0, B(x₀, r) ⊂ V
Si V, W ∈ V(x₀) alors V∩W ∈ V(x₀)
O est un ouvert
Ɐx∈O, ∃r >0, B(x, r) ⊂ O
Intersection finie d’ouverts est un ouvert
Union d’ouverts est un ouvert
F est un fermé
E\F est un ouvert
<=> pour toute suite (an)n de F qui converge vers l∈E alors l ∈ F
Intersection de fermés est un fermé
Union finie de fermés est un fermé
Intérieur de A
Å = {x∈E, ∃r >0, B(x, r) ⊂ A} (plus grand ouvert dans A)
Adhérence de A
Ā = {x∈E, Ɐr >0, B(x, r)∩A ≠ ∅} (plus petit fermé contenant A)
A dense dans B
A ⊂ B ⊂ Ā
Frontière de A
fr(A) = Ā\Å
x ∈ Ā
Il existe une suite (an)n de A qui converge vers x
A compact
Toute suite (an)n de A admet une valeur d'adhérence (une suite extraite de (an)n converge) => A fermé et borné (réciproque vraie en dim finie)
A compact
B ⊂ A, avec B fermé
B compact
Ω est un ouvert relatif de A
∃O ouvert de E tq Ω = O∩A
Φ est un fermé relatif de A
∃F fermé de E tq Φ = F∩A
f : A ⊂ E → F, x0 ∈ Ā, l ∈ F
f admet pour lim l en x₀
Ɐε>0, ∃α>0, Ɐx∈A, || x-x₀ || ≤ α => || f(x)-l || ≤ ε
<=> pour toute suite (an)n de A qui converge vers x₀, (f(an))n cv vers l
f : A ⊂ E → F continue en a
Ɐε>0, ∃α>0, Ɐx∈A, || x-a || ≤ α => || f(x)-f(a) || ≤ ε
<=> pour toute suite (an)n de A qui converge vers a, (f(an))n cv vers f(a)
f : A ⊂ E → F continue, A compact
Cas où F = ℝ
f(A) compact
Si F = ℝ, f bornée et atteint ses bornes
f : A ⊂ E → G continue sur A
Pour tout O ouvert de G, f⁻¹(O) est un ouvert relatif de A
<=> Pour tout F fermé de G, f⁻¹(F) est un fermé relatif de A
E, F espaces vectoriels normés
u∈L(E, F)
4 équivalences avec u continue
u continue <=> ∃c≥0, Ɐx∈E, || u(x) || ≤ c*||x||
<=> u est continue en 0
<=> u est lipschitzienne
<=> u est bornée sur la boule fermée unité de E (u(Bf(0,1)) est une partie bornée de F)
A ⊂ E est connexe par arcs si
Ɐ(x, y)∈A², il existe un chemin continu dans A de x à y
soit φ : [0; 1] → A continue telle que φ(0)=x et φ(1)=y
Connexes par arcs de ℝ
Ce sont les intervalles
Image d’un connexe par arcs par une application continue
C’est également un connexe par arcs
Deux exemples de connexes par arcs
1) Les convexes
2) Les ensembles étoilés (A est étoilé si ∃x₀∈A, Ɐx∈A, [x₀; x] ⊂ A)
Propriété des applications linéaires et bilinéaires en dimension finie
Elles sont continues
Propriété des fonctions polynomiales
Toute fonction polynomiale est continue
Théorème de Heine
Soit A un compact
Si f : A ⊂ E → F continue sur A, alors f est uniformément continue sur A
f : A ⊂ E → F est uniformément continue sur A si
Ɐε>0, ∃α>0, Ɐx∈A, Ɐx’∈A, || x-x’ || ≤ α => || f(x)-f(x’) || ≤ ε
f : A ⊂ E → F est lipschitzienne si
∃K∈ℝ+, Ɐ(x, y)∈A², || f(x)-f(y) || ≤ K*|| x-y ||
Conséquence de f lipschitzienne
Si f est lipschitzienne alors f est uniformément continue
Soit E espace vectoriel normé quelconque
Propriété de F sous-espace vectoriel de E, de dimension finie
F est fermé dans E muni de sa norme
Attention, ce qui suit n’est pas du cours :
Montrer que si A ou B est ouvert alors A + B est ouvert
A + B = ∪ A + b (b∈B)
Montrons que A + {b} est ouvert
Soit z∈(A + {b}), z = a + b
A ouvert donc ∃r>0, B(a, r)⊂A
B(z, r) = B(a+b, r) ⊂A + b car si y dans cette boule, ||(y-b)-a|| < r, donc y-b = x ∈ B(a, r) ⊂A. D'où y = x + b∈(A + {b})
Remarque : Si A et B sont fermés, A + B ne l’est pas forcément.
Si A et B sont compacts alors A + B est compact
E evn, (Kᵢ)ᵢ suite décroissante de compacts non vide de E et K = ∩ Kᵢ
Montrer que K≠∅
(xᵢ)ᵢ suite tq ∀ᵢ, xᵢ∈Kᵢ
(xᵢ) admet une valeur d’adhérence l dans K₀. ∃φ, xᵩ₍ᵢ₎ → l
Soit i₀, ∀i≥i₀, xᵩ₍ᵢ₎∈Kᵩ₍ᵢ₎⊂Kᵢ⊂Kᵢ₀
Donc l∈Kᵢ₀ car c’est un fermé
Vrai pour tout i₀, donc l∈K et K non vide
Faux si on suppose les Kᵢ seulement fermés :
contre-exemple avec Kᵢ = [i; +∞[, K = ∩ Kᵢ = ∅
N est une norme d’algèbre sur l’algèbre A si
N est une norme
Ɐ(x, y)∈A², N(x*y) ≤ N(x).N(y)
