Espaces vectoriels normés

Question 1

S convexe

Answer 1

Ɐ A, B ∈ S, [AB] = { tA + (1-t)B, t ∈ [0; 1] } ⊂ S

Question 2

N : E → ℝ norme

Answer 2

1) Ɐx∈E, N(x) ≥ 0
2) Ɐx∈E, N(x) = 0 => x = 0 (séparation)
3) Ɐx∈E, Ɐλ∈K, N(λx) = |λ|*N(x) (homogénéité)
4) Ɐ(x, y)∈E², N(x+y) ≤ N(x) + N(y)

Question 3

f : ExE → ℝ produit scalaire

Answer 3

1) f bilinéaire
2) f symétrique : Ɐ(x, y)∈E², f(x, y) = f(y, x)
3) f positive : Ɐx∈E, f(x, x) ≥ 0
4) f définie : Ɐx∈E, f(x, x) = 0 => x = 0

Question 4

Normes usuelles sur Kⁿ

Answer 4

||x||₁ = ∑ |xᵢ|
||x||₂ = √( ∑ |xᵢ|² )
||x||∞ = max |xᵢ|

Question 5

Normes sur C([a; b], K)

Answer 5

||f||₁ = ∫ |f(t)| dt
||f||₂ = √( ∫ |f(t)|² dt )
||f||∞ = max |f(t)|

Question 6

Inégalité Cauchy-Schwarz

Answer 6

Ɐ(x, y)∈E², |(x | y)| ≤ ||x||*||y||

Question 7

Boule ouverte de rayon r > 0 et de centre a

Answer 7

B(a, r) = {x∈E, N(x-a) < r}

convexe

Question 8

Diamètre de A

Answer 8

S(A) = sup N(x-y)

Question 9

(un)n cv vers l

Answer 9

Ɐε>0, ∃n₀∈N, Ɐn∈N, n≥n₀ => N(un - l) ≤ ε

Question 10

N et N’ normes équivalentes sur E

Answer 10

∃0 < α ≤ β, αN ≤ N’ ≤ βN

Théorème : Toutes les normes sont équivalentes sur un espace vectoriel de dimension finie

Question 11

(un)n suite de E, (an)n suite de réels

un = O(an)

Answer 11

∃(M, n₀)∈RxN, Ɐn∈N, n≥n₀ => N(un) ≤ M*|an|

Question 12

(un)n suite de E, (an)n suite de réels

un = o(an)

Answer 12

Ɐε>0, ∃n₀∈N, Ɐn∈N, n≥n₀ => N(un) ≤ ε*|an|

Question 13

(un)n et (vn)n suites de E

un ∼ vn

Answer 13

(un - vn) = o(N(un))

Question 14

V voisinage de x₀

Answer 14

∃r >0, B(x₀, r) ⊂ V

Si V, W ∈ V(x₀) alors V∩W ∈ V(x₀)

Question 15

O est un ouvert

Answer 15

Ɐx∈O, ∃r >0, B(x, r) ⊂ O
Intersection finie d’ouverts est un ouvert
Union d’ouverts est un ouvert

Question 16

F est un fermé

Answer 16

E\F est un ouvert
<=> pour toute suite (an)n de F qui converge vers l∈E alors l ∈ F
Intersection de fermés est un fermé
Union finie de fermés est un fermé

Question 17

Intérieur de A

Answer 17

Å = {x∈E, ∃r >0, B(x, r) ⊂ A} (plus grand ouvert dans A)

Question 18

Adhérence de A

Answer 18

Ā = {x∈E, Ɐr >0, B(x, r)∩A ≠ ∅} (plus petit fermé contenant A)

Question 19

A dense dans B

Answer 19

A ⊂ B ⊂ Ā

Question 20

Frontière de A

Answer 20

fr(A) = Ā\Å

Question 21

x ∈ Ā

Answer 21

Il existe une suite (an)n de A qui converge vers x

Question 22

A compact

Answer 22

Toute suite (an)n de A admet une valeur d'adhérence (une suite extraite de (an)n converge)
=> A fermé et borné (réciproque vraie en dim finie)

Question 23

A compact

B ⊂ A, avec B fermé

Answer 23

B compact

Question 24

Ω est un ouvert relatif de A

Answer 24

∃O ouvert de E tq Ω = O∩A

Question 25

Φ est un fermé relatif de A

Answer 25

∃F fermé de E tq Φ = F∩A

Question 26

f : A ⊂ E → F, x0 ∈ Ā, l ∈ F

f admet pour lim l en x₀

Answer 26

Ɐε>0, ∃α>0, Ɐx∈A, || x-x₀ || ≤ α => || f(x)-l || ≤ ε

<=> pour toute suite (an)n de A qui converge vers x₀, (f(an))n cv vers l

Question 27

f : A ⊂ E → F continue en a

Answer 27

Ɐε>0, ∃α>0, Ɐx∈A, || x-a || ≤ α => || f(x)-f(a) || ≤ ε

<=> pour toute suite (an)n de A qui converge vers a, (f(an))n cv vers f(a)

Question 28

f : A ⊂ E → F continue, A compact

Cas où F = ℝ

Answer 28

f(A) compact

Si F = ℝ, f bornée et atteint ses bornes

Question 29

f : A ⊂ E → G continue sur A

Answer 29

Pour tout O ouvert de G, f⁻¹(O) est un ouvert relatif de A

<=> Pour tout F fermé de G, f⁻¹(F) est un fermé relatif de A

Question 30

E, F espaces vectoriels normés
u∈L(E, F)
4 équivalences avec u continue

Answer 30

u continue <=> ∃c≥0, Ɐx∈E, || u(x) || ≤ c*||x||
<=> u est continue en 0
<=> u est lipschitzienne
<=> u est bornée sur la boule fermée unité de E (u(Bf(0,1)) est une partie bornée de F)

Question 31

A ⊂ E est connexe par arcs si

Answer 31

Ɐ(x, y)∈A², il existe un chemin continu dans A de x à y

soit φ : [0; 1] → A continue telle que φ(0)=x et φ(1)=y

Question 32

Connexes par arcs de ℝ

Answer 32

Ce sont les intervalles

Question 33

Image d’un connexe par arcs par une application continue

Answer 33

C’est également un connexe par arcs

Question 34

Deux exemples de connexes par arcs

Answer 34

1) Les convexes

2) Les ensembles étoilés (A est étoilé si ∃x₀∈A, Ɐx∈A, [x₀; x] ⊂ A)

Question 35

Propriété des applications linéaires et bilinéaires en dimension finie

Answer 35

Elles sont continues

Question 36

Propriété des fonctions polynomiales

Answer 36

Toute fonction polynomiale est continue

Question 37

Théorème de Heine

Answer 37

Soit A un compact

Si f : A ⊂ E → F continue sur A, alors f est uniformément continue sur A

Question 38

f : A ⊂ E → F est uniformément continue sur A si

Answer 38

Ɐε>0, ∃α>0, Ɐx∈A, Ɐx’∈A, || x-x’ || ≤ α => || f(x)-f(x’) || ≤ ε

Question 39

f : A ⊂ E → F est lipschitzienne si

Answer 39

∃K∈ℝ+, Ɐ(x, y)∈A², || f(x)-f(y) || ≤ K*|| x-y ||

Question 40

Conséquence de f lipschitzienne

Answer 40

Si f est lipschitzienne alors f est uniformément continue

Question 41

Soit E espace vectoriel normé quelconque

Propriété de F sous-espace vectoriel de E, de dimension finie

Answer 41

F est fermé dans E muni de sa norme

Question 42

Attention, ce qui suit n’est pas du cours :

Montrer que si A ou B est ouvert alors A + B est ouvert

Answer 42

A + B = ∪ A + b (b∈B)
Montrons que A + {b} est ouvert
Soit z∈(A + {b}), z = a + b
A ouvert donc ∃r>0, B(a, r)⊂A
B(z, r) = B(a+b, r) ⊂A + b car si y dans cette boule, ||(y-b)-a|| < r, donc y-b = x ∈ B(a, r) ⊂A. D'où y = x + b∈(A + {b})

Remarque : Si A et B sont fermés, A + B ne l’est pas forcément.
Si A et B sont compacts alors A + B est compact

Question 43

E evn, (Kᵢ)ᵢ suite décroissante de compacts non vide de E et K = ∩ Kᵢ
Montrer que K≠∅

Answer 43

(xᵢ)ᵢ suite tq ∀ᵢ, xᵢ∈Kᵢ
(xᵢ) admet une valeur d’adhérence l dans K₀. ∃φ, xᵩ₍ᵢ₎ → l
Soit i₀, ∀i≥i₀, xᵩ₍ᵢ₎∈Kᵩ₍ᵢ₎⊂Kᵢ⊂Kᵢ₀
Donc l∈Kᵢ₀ car c’est un fermé
Vrai pour tout i₀, donc l∈K et K non vide

Faux si on suppose les Kᵢ seulement fermés :
contre-exemple avec Kᵢ = [i; +∞[, K = ∩ Kᵢ = ∅

Question 44

N est une norme d’algèbre sur l’algèbre A si

Answer 44

N est une norme

Ɐ(x, y)∈A², N(x*y) ≤ N(x).N(y)