Intégrales à paramètres et séries entières

Question 1

Théorème de convergence dominée

Answer 1

(fn)n continues par morc, f continue par morc
(fn)n converge simplement vers f sur I
∃φ : I → ℝ+ continue par morc, intég sur I tq ∀n∈ℕ, ∀x∈I, |fn(x)| ≤ φ(x)
Alors : ∀n∈ℕ, fn intég sur I
f intég sur I
∫fn → ∫f

Question 2

Théorème d’intégration termes à termes

Answer 2

(fn)n continues par morc, intég sur I
Σfn converge simplement sur I
Σfn (n variant de 0 à +∞) continue par morc
Σ∫|fn| converge
Alors : Σfn (n variant de 0 à +∞) intég sur I
et ∫ [ Σfn (n variant de 0 à +∞) ] = Σ ( ∫fn ) (n variant de 0 à +∞)

Question 3

Théorème de continuité (intégrale à paramètres)

Answer 3

I interv de ℝ et A⊂E, f : A×I → K
∀t∈I, x → f(x, t) continue
∀x∈A, t → f(x, t) continue par morc
∃φ : I → ℝ+ continue par morc, intég sur I tq ∀x∈A, ∀t∈I, |f(x, t)| ≤ φ(t)
(on peut remplacer ∀x∈A par ∀x∈V où V qcq dans A)
Alors x → ∫f(x, t)dt définie et continue sur A

Question 4

Théorème de dérivation (intégrale à paramètres)

Answer 4

I interv de ℝ et A⊂E, f : A×I → K
∀t∈I, x → f(x, t) de classe C¹
∀x∈A, t → f(x, t) continue par morc, intég sur I
∀x∈A, t → (∂f/∂x)(x, t) continue par morc
∃φ : I → ℝ+ continue par morc, intég sur I tq ∀x∈A, ∀t∈I, |(∂f/∂x)(x, t)| ≤ φ(t)
(on peut remplacer ∀x∈A par ∀x∈V où V qcq dans A)
Alors x → ∫f(x, t)dt C¹ sur A avec pour dérivée ∫(∂f/∂x)(x, t)dt

Question 5

Définition du rayon de convergence d’une série entière Σ(an)zⁿ

Answer 5

R = sup {r≥0, (an)rⁿ bornée}

R ∈ ℝ∪{+∞}

Question 6

Caractérisation du rayon de convergence

Answer 6

R rayon de convergence de Σ(an)zⁿ
<=> ( ∀z∈ℂ, |z| > R => (an)zⁿ ne tend pas vers 0
∀z∈ℂ, |z| < R => Σ|(an)zⁿ| converge )

Question 7

Lemme d’Abel

Answer 7

z₀∈ℂ tq ((an)z₀ⁿ)n bornée

Alors ∀z∈ℂ, |z| < |z₀| => Σ(an)zⁿ converge absolument

Question 8

Domaine de convergence D de la série entière Σ(an)zⁿ

Answer 8

D est compris entre le disque ouvert, D(0, R) = {z∈ℂ, |z|

< R} et le disque fermé de convergence

Question 9

Σ(an)zⁿ et Σ(bn)zⁿ de rayon de convergence Ra et Rb
an = O(bn)
Lien entre les rayons de convergence

Answer 9

Ra ≥ Rb

Question 10

Application de la règle de d’Alembert pour les séries entières

Answer 10

Σ(an)zⁿ tq ∃n₀∈ℕ, ∀n∈ℕ, n≥n₀ => an ≠ 0
| a(n+1) / an | → l ∈ ℝ+ ∪ {+∞}
Alors R = 1/l avec R = +∞ <=> l = 0
R = 0 <=> l = +∞

Question 11

Lien Σ(an)zⁿ et Σn(an)zⁿ

Answer 11

Elles ont le même rayon de convergence

Question 12

Théorème de continuité pour les séries entières

Answer 12

Σ(an)zⁿ de rayon de convergence R

Alors z → Σ(an)zⁿ [n variant de 0 à +∞] est continue sur le disque ouvert de convergence

Question 13

Σ(an)zⁿ et Σ(bn)zⁿ de rayon de convergence Ra et Rb

Rayon de convergence de Σ(an + bn)zⁿ

Answer 13

R ≥ min (Ra, Rb)

avec R = min (Ra, Rb) si Ra ≠ Rb

Question 14

Définition de la série de Cauchy, propriété

Answer 14

Σ(an)zⁿ et Σ(bn)zⁿ de rayon de convergence Ra et Rb
∀n∈ℕ, cn = Σak * b(n-k) [k variant de 0 à n]
Σ(cn)zⁿ de rayon de convergence R ≥ min (Ra, Rb)
∀z∈ℂ, |z| < min (Ra, Rb) => Σ(cn)zⁿ = Σ(an)zⁿ * Σ(bn)zⁿ
(égalité sur les fonctions somme)

Question 15

Intégration termes à termes pour une série entière

Answer 15

Σ(an)xⁿ de rayon R > 0 et |x| < R (x∈ℝ)
∫Σ(an)tⁿdt = Σa(n-1) * xⁿ /n
Intégrale de 0 à x et somme de 0 (resp 1) à +∞

Question 16

Dérivation pour une série entière

Answer 16

Σ(an)xⁿ de rayon R > 0, f(x) = Σ(an)xⁿ [n variant de 0 à +∞]
Alors f est C∞ sur ]-R; R[ et ∀k≥1,
f(k-ième)(x) = Σ(n+1)…(n+k)a(n+k)xⁿ [n variant de 0 à +∞]

Question 17

Fonction Gamma d’Euler et relation fonctionnelle

Answer 17

Γ(x) = ∫ exp(-t) * t^(x-1) dt [entre 0 et +∞]

∀x>0, Γ(x+1) = xΓ(x)

Question 18

∀n∈ℕ, Γ(n+1)

Γ(1/2)

Answer 18

∀n∈ℕ, Γ(n+1) = n!

Γ(1/2) = √π

Question 19

Dérivabilité de la fonction Γ

Answer 19

Elle est de classe C∞

∀n∈ℕ, Γ⁽ⁿ⁾(x) = ∫ (ln t)ⁿ * exp(-t) * t^(x-1) dt [entre 0 et +∞]