Fonction d'une variable réelle Flashcards
f : I → E dérivable en a et u ∈ L(E, F) avec F de dim finie
Alors uof est dérivable en a et (uof)’(a) = u(f’(a))
f : I → ℝ continue et injective
Alors f est strictement monotone, puis f est une bijection de I sur J = f(I)
De plus f⁻¹ continue, de même monotonie que f
f : I → ℝ bijective de I sur J = f(I) dérivable en a
Si f’(a) ≠ 0 alors (f⁻¹)’(f(a)) = 1/f’(a)
Si f’(a) = 0 alors | (f⁻¹(x) - a) / (x - f(a)) | → + ∞ quand x tend vers f(a)
f : I → ℝ injective et de classe Ck avec Ɐx ∈ I, f’(x) ≠ 0
Alors f est une bijection de I sur f(I) et f⁻¹ est de classe Ck
Théorème de Rolle
f : [a; b] → ℝ, continue sur [a; b], dérivable sur ]a; b[ et tel que f(a) = f(b)
Alors ∃c ∈ ]a; b[, f’(c) = 0
Formule des accroissements finis
f : [a; b] → ℝ, continue sur [a; b], dérivable sur ]a; b[
Alors ∃c ∈ ]a; b[, f(b) - f(a) = f’(c)*(b-a)
Dérivation par limite de la dérivée
f : I → E continue, dérivable sur I{a}
Si f’(x) → l (qd x → a) alors f dérivable en a et f’(a) = l
De plus f’ est continue en a
f : I → ℝ convexe (3 équivalences)
<=> Ɐ(x, y) ∈ I², Ɐλ ∈ [0; 1], f(λx + (1-λ)y) ≤ λf(x) + (1-λ)f(y)
<=> Epi(f) = {(x, y) ∈ ℝ², x ∈ I et y ≥ f(x)} est convexe
<=> Inégalité des trois pentes : Ɐx, y, z ∈ I, x < y < z =>
[f(y)-f(x)] / (y-x) ≤ [f(z)-f(x)] / (z-x) ≤ [f(z)-f(y)] / (z-y)
f : I → ℝ de classe C¹ convexe
<=> f’ est croissante
f : I → ℝ de classe C² convexe
<=> f” ≥ 0
Inégalité de convexité
f : I → ℝ convexe, x₁, _ , xn ∈ I, λ₁, _ , λn ∈ ℝ+ tq ∑λᵢ = 1 Alors f(∑λᵢ * xᵢ) ≤ ∑λᵢ * f(xᵢ)
Inégalité des moyennes
harmonique ≤ géométrique ≤ arithmétique
n / ∑1/xᵢ ≤ ⁿ√(Πxᵢ) ≤ 1/n * ∑xᵢ
S est convexe (définition)
Ɐ A, B ∈ S, [AB] = { tA + (1-t)B, t ∈ [0; 1] } ⊂ S
Intersection d’une famille de parties convexes de E
L’Intersection d’une famille de parties convexes de E est une partie convexe de E
A partie de E est convexe (équivalence)
A convexe <=> tout barycentre, à coefficients positifs et non tous nuls, d’éléments de A est dans A :
x₁, _ , xn ∈ A
λ₁, _ , λn ∈ ℝ+ tq ∑λᵢ ≠ 0
Alors (1/∑λᵢ) * ∑λᵢ * xᵢ ∈ A
