Calcul différentiel Flashcards
f : U → F différentiable en a si
U ouvert de E
f(a+h) = f(a) + df(a).h + o(||h||) avec df(a)∈L(E,F) différentielle de f en a
f : U⊂ℝ → F différentiable en a
Équivalence
<=> f dérivable en a
Dans ce cas f’(a) = df(a).1
f admet en a une dérivée selon v
t → f(a+tv) est dérivable en 0
Dvf(a) = lim 1/t * (f(a+tv) - f(a)) quand t tend vers 0
Si f est différentiable en a alors Dvf(a) = df(a).v
(e₁, … , eᵣ) base de E
f admet en a une dérivée partielle première d’indice i (déf) + cas où f est différentiable en a
f admet en a une dérivée selon eᵢ
Cas où f est différentiable : f admet en a pour tout i une dérivée partielle première d’indice i et ∂f(a)/∂xᵢ = df(a).eᵢ
f différentiable en a et h = Σhᵢ*eᵢ
Alors df(a).h = Σhᵢ*∂f(a)/∂xᵢ
f différentiable en a
Matrice jacobienne de f en a
dim E = r et dim F = n
Jf(a) est la matrice de df(a) dans les bases Be et Bf
Jf(a) = (∂f(a)/∂x₁ …. ∂f(a)/∂xᵣ)
= ( ∂fi(a)/∂xj ) avec 1≤i≤n et 1≤j≤r
f : U → ℝ différentiable en a
Gradient de f en a
∃! vecteur ∇f(a) tq ∀x∈E, df(a).x = (∇f(a)|x)
∇f(a) = ( ∂f(a)/∂x₁ )
( … )
( ∂f(a)/∂xᵣ )
f : U → F différentiable en a
g : V⊃f(U) → G différentiable en f(a)
Conséquence pour gof et cas particulier où E = ℝ avec f dérivable (donc différentiable)
gof différentiable en a et d(gof)(a) = dg(f(a)) o df(a)
Cas particulier : d(gof)(t).1 = dg(f(t)) o (f’(t)) = (gof)’(t)
∂gof(a)/∂xᵢ
∂gof(a)/∂xᵣ = Σ∂g(f(a))/∂yᵢ * ∂fᵢ(a)/∂xᵣ
Matrice jacobienne de gof en a
J(gof)(a) = Jg(f(a)) * Jf(a)
f : U → F de classe C¹ (déf)
f est différentiable sur U, de différentielle continue
f : U → F de classe C¹ (équivalence)
<=> f admet des dérivées partielles premières continues pour tout indice i
f : U → F de classe C¹ et γ : [0; 1] → U de classe C¹ tq γ(0) = a et γ(1) = b
Conséquence pour f(b) - f(a)
f(b) - f(a) = ∫df(γ(t)).γ’(t) dt (intégrale entre 0 et 1)
f : U → F de classe C¹ avec U connexe par arc
Équivalence avec f constante
<=> df = 0
∂ⁿf /∂xin…∂xi1
∂ⁿf /∂xin…∂xi1 = ∂/∂xin ( ∂ⁿ⁻¹f /∂x(in-1)…∂xi1 )
