Espaces vectoriels et réduction

Question 1

Caractérisation d’un sev F d’un K-ev E

Answer 1

F ⊂ E
F ≠ ∅
Ɐ(x, y) ∈ F², Ɐ(a, b) ∈ K², ax + by ∈ F

Question 2

Caractérisation d’une sous algèbre B de (A, +, *, ●)

Answer 2

B ⊂ A
1A ∈ B
Ɐ(x, y) ∈ B², Ɐa ∈ K, a●x + y ∈ B
Ɐ(x, y) ∈ B², x*y ∈ B

Question 3

Théorème de la base incomplète

Answer 3

E ev de dim finie
Soient F une famille libre et G une famille génératrice
alors on peut compléter F en une base de E à l’aide de vecteurs de G

Question 4

Formule de Grassman

Answer 4

F, G sev d’un ev E

alors dim F+G = dim F + dim G - dim F∩G

Question 5

Théorème du rang

Answer 5

E ev de dim finie, f appli linéaire de E dans F

dim E = rg f + dim Ker f

Question 6

H sev d’un ev E, H hyperplan de E

Answer 6

H = Ker f (où f une forme linéaire non nulle) <=> H ≠ E et Ɐa ∈ E \ H, E = H ⊕ Vect a

Question 7

Base canonique de Mn,p(K)

Answer 7

(Ei,j) avec 1 ≤ i ≤ n et 1 ≤ j ≤ p

et Ei,j = [δi,k * δj,l] avec 1 ≤ k ≤ n et 1 ≤ l ≤ p

Question 8

Produit de deux éléments de la base canonique de Mn,p(K)

Answer 8

Ei,j * Ek,l = δj,k * Ei,l

Question 9

Calcul du déterminant de A = (ai, j) : développement selon la j-ième colonne

Answer 9

det A = Σ ai,j * (-1)^[i+j] * Δi,j

on somme pour i de 1 à n

Question 10

Lien entre une matrice A de Mn(K) et sa comatrice

Answer 10

tA * (com A) = t(com A) * A = (det A) * In

Question 11

Déterminant d’une matrice A de Mn(K) triangulaire

Answer 11

det A = Π aᵢᵢ

produit pour i de 1 à n

Question 12

Sn(K) : déf + dim

Answer 12

Ensemble des matrices symétriques : {A ∈ Mn(K), tA = A}
dim Sn(K) = n(n+1)/2

Question 13

An(K) : déf + dim

Answer 13

Ensemble des matrices antisymétriques : {A ∈ Mn(K), tA = -A}
dim An(K) = n(n-1)/2

Question 14

Sous espace propre associé

Answer 14

Eλ(u) = Ker u-λid = {vect propre associé à λ}

Question 15

Polynôme caractéristique de A

Answer 15

χA = det X*In - A

Question 16

Coef de χA

Answer 16

χA = Xⁿ - (tr A)*Xⁿ⁻¹ + … + (-1)ⁿ det A

Question 17

Coef de χA s’il est scindé

Answer 17

tr A = Σ λᵢ

det A = Π λᵢ

Question 18

Relation sur la dimension de Eλ

Answer 18

1 ≤ dim Eλ ≤ m(λ) 
Avec m(λ) multiplicité de λ comme racine de χ

Question 19

Lemme de décomposition des noyaux

Answer 19

u un endomorphisme 
P, Q deux polynômes de K[X] tq pgcd(P, Q) = 1
Alors Ker(PQ)(u) = KerP(u) ⊕ KerQ(u)

Question 20

Théorème de Cayley-Hamilton

Answer 20

E de dim finie, u un endomorphisme

Alors χu(u) = 0

Question 21

u diagonalisable

5 équivalences

Answer 21

χu scindé et Ɐλ ∈ Sp(u), dim Eλ(u) = m(λ)
<=> E = ⊕ Eλ(u)
<=> dim E = ∑dim Eλ(u)
<=> ∃P ∈ K[X] scindé à racines simples tq P(u) = 0 (E de dim finie)
<=> μu scindé à racines simples

Question 22

u diagonalisable (déf)

Answer 22

∃B une base de E tq la matrice de u dans la base B soit diagonale

Question 23

A diagonalisable (3 équivalences)

Answer 23

A semblable à matrice diagonale
<=> X → AX diagonalisable
<=> χA scindé et Ɐλ ∈ Sp(A), rg(A - λIn) = n - m(λ)

Question 24

A trigonalisable

Answer 24

A semblable à une matrice triangulaire (sup ds la déf)

<=> χA scindé

Question 25

Sp(u) en dim finie

Answer 25

Sp(u) = {racines de χu} = {racines de μu}

Question 26

En dim finie, u nilpotent (lien avec trigonalisation)

Answer 26

<=> u trigonalisable et Sp(u) = {0}

Question 27

μu le polynôme minimal de u

Answer 27

unique générateur unitaire de l’idéal {P ∈ K[X], P(u) = 0}

Question 28

Formule changement de base

Passage de A matrice de u dans les bases e et f à A’ matrice de u dans les bases e’ et f’

Answer 28

P matrice de passage de e vers e’ (matrice de e’ dans la base e)
Q matrice de passage de f vers f’ (matrice de f’ dans la base f)
A’ = Q⁻¹AP

Question 29

Formules de Cramer

Answer 29

a₁₁x₁ + … + a₁ᵣxᵣ = y₁
…
aᵣ₁x₁ + … + aᵣᵣxᵣ = yᵣ
possède une unique solution si A inversible
Dans ce cas xᵢ = det Aᵢ / det A
où Aᵢ obtenue en remplaçant la i-ème colonne de A par Y

Question 30

Déterminant de Vandermonde

Answer 30

V(x₁, ... , xᵢ) =
| 1  x₁  x₁²  ...  x₁ⁱ⁻¹ |
|          ...               |
| 1  xᵢ  xᵢ²  ...  xᵢⁱ⁻¹   |
= Π(xj - xk)  [1 ≤ k < j ≤ i]

Question 31

A ∈ Mn(K) est inversible (7 équivalences)

Answer 31

<=> det A ≠ 0
<=> rg (A) = n
<=> Ker A = {0}
<=> ∃B∈ Mn(K), AB = In
<=> ∃C∈ Mn(K), CA = In
<=> Les colonnes de A forment une base de Kⁿ
<=> Les lignes de A forment une base de Kⁿ

Question 32

Soit A la matrice suivante :
A=( 3	0	−1)	
     ( 2	4	2 )
     (−1	0	3 )
Démontrer que A est diagonalisable et donner une matrice P inversible et une matrice D diagonale telles que A = PDP⁻¹. En déduire la valeur de Aⁿ pour tout n

Answer 32

P=( 1	       0	1   )	
    (−2	1	0  )	
    (  1	0	−1 ) 
D=( 2	0	0 )	
     ( 0	4	0 )	
     ( 0	0	4 )
Aⁿ = 0.5*
( 2ⁿ+4ⁿ	          0	            2ⁿ−4ⁿ  )
( 2*(4ⁿ−2ⁿ)	2*4ⁿ	        2*(4ⁿ−2ⁿ))
( 2ⁿ−4ⁿ	          0	             2ⁿ+4ⁿ )

Question 33

P = λ*Π(X-aᵢ)^kᵢ (i variant de 1 à r)

Que vaut P’ / P

Answer 33

P’ / P = Σ kᵢ / (X - aᵢ) (i variant de 1 à r)

Question 34

Décomposition en éléments simples de F = P/Q

Answer 34

1) Chercher partie entière
2) Si a est un pôle simple, le coefficient associé est P(a) / Q’(a)
3) Sinon si a est de multiplicité k :
le coefficient associé à (X - a)^k est obtenu en multipliant F par (X - a)^k et en évaluant en a
Celui associé à k-1 en soustrayant le terme précédent des deux côtés de l’égalité, puis en multipliant par (X - a)^(k-1) et en évaluant en a …

Question 35

Interpolation de Lagrange

Answer 35

∃! P ∈ K[X], deg P < n et ∀i ∈ [|1; n|], P(xᵢ) = yᵢ
P = Σyᵢ * Lᵢ (i va de 1 à n)
avec Lᵢ = Π (X-xᵣ) / (xᵢ-xᵣ) (r va de 1 à n et r ≠ i)

Question 36

Décomposition en fraction rationnelle de (2X² + 1) / (X² - 1)²

Answer 36

= -0.25/(X+1) + 0.75/(X+1)² + 0.25/(X-1) + 0.75/(X-1)²

Question 37

det(A*B)
det(tA)
det(A+B)

Answer 37

det(AB) = det(A)det(B)
det(tA) = det(A)
Attention : aucun résultat sur la somme

Question 38

det A (formule générale)

Answer 38

det A = Σε(ρ)aᵨ₍₁₎,₁…*aᵨ₍ᵢ₎,ᵢ

où ρ∈Sᵢ

Question 39

Toute famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres 2 à 2 distinctes est ?

Answer 39

Toute famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres 2 à 2 distinctes est libre

Question 40

u et v deux endomorphismes tels que uov = vou

Conséquence

Answer 40

Tout sous espace propre pour l’un est stable par l’autre endomorphisme.
Cas particulier Ker u et Im u sont stables par v

Question 41

Invariants de similitude

Answer 41

Trace
Déterminant
Rang
Polynôme caractéristique

Question 42

tr (AB)
tr (αA + B)
tr (tA)

Answer 42

tr(AB) = tr(BA)
tr(αA + B) = α*tr(A) + tr(B)
tr(tA) = tr(A)

Question 43

Diagonalisation simultanée.

E de dim finie. u, v ∈ L(E) diagonalisables tel que uov = vou. Montrer qu’il existe une base B propre pour u et v.

Answer 43

Tout sous espace propre de u est stable par v.
Soit λ∈Sp(u). Alors Eλ(u) est stable par v.
Posons vλ induit par la restriction de v à Eλ(u).
Donc vλ est diagonalisable.
Soit Bλ base de Eλ(u) propre pour vλ.
B = U Bλ (λ∈Sp(u)) est une base propre pour u et v.

Question 44

v ∈ L(E) diagonalisable. Lien avec les endomorphismes induits

Answer 44

Pour tout sous-espace vectoriel F stable par v, l’endomorphisme induit par v sur F est aussi diagonalisable

Question 45

Deux propriétés sur le rang d’un produit de matrices

Answer 45

rg(AB) ≤ min( rg(A), rg(B) )
P∈GLn(K). Alors rg(AP) = rg(PA) = rg(A)
(Conséquence : effectuer des opérations élémentaires sur une matrice ne change pas son rang)

Question 46

Opérations élémentaires pour calculer un déterminant (3 opérations + 3 cas particuliers de déterminants)

Answer 46

1) un déterminant contenant deux lignes (ou colonnes) identiques ou proportionnelles est nul
2) un déterminant contenant une rangée de 0 est nul
3) un déterminant contenant une rangée combinaison linéaire des autres est nul
4) multiplier une rangée d’un déterminant par α multiplie celui-ci par α
5) échanger deux lignes ou deux colonnes d’un déterminant multiplie celui-ci par -1
6) ajouter à une rangée une combinaison linéaire des autres ne modifie pas le déterminant

Question 47

com A (comatrice de A)

Answer 47

matrice des cofacteurs : com A = [ (-1)^(i+j) * Δi,j ]

Question 48

(x₁, _ , xᵢ) ∈ Eⁱ libre (équivalence)

Answer 48

detB (x₁, _ , xᵢ) ≠ 0

où B base de E

Question 49

B, B’ bases de E, (x₁, _ , xᵢ) ∈ Eⁱ

detB’ (x₁, _ , xᵢ)

Answer 49

detB’ (x₁, _ , xᵢ) = detB’ (B) * detB (x₁, _ , xᵢ)

Remarque : detB (B) = 1

Question 50

rg(A) = r (2 équivalences)

Answer 50

rg(A) = r <=> A équivalente à Jr,n,p

<=> r = max {k | ∃B extraite de A inversible de taille k}

Question 51

Matrice de transvection

Answer 51

Ti,j(λ) = In + λEi,j
C’est une matrice inversible
Multiplier à gauche par Ti,j fait Li reçoit Li + λLj
Multiplier à droite par Ti,j fait Cj reçoit Cj + λ*Ci

Question 52

Matrice de dilatation

Answer 52

Di(λ) = ∑Ej,j [j≠i] + λEi,i
C’est une matrice inversible
Multiplier à gauche par Di fait Li reçoit λLi
Multiplier à droite par Di fait Ci reçoit λ*Ci

Question 53

Matrice de transposition

Answer 53

Pi,j = Ei,j + Ej,i + ∑Ek,k [k≠i,j]
C’est une matrice inversible
Multiplier à gauche par Pi,j fait Li échangée avec Lj
Multiplier à droite par Pi,j fait Ci échangée avec Cj