Intégration et séries de fonctions

Question 1

f : [a; b] → E continue par morceaux (déf)

Answer 1

Si ∃σ=(aᵢ)ᵢ subdivision de [a; b], Ɐi ∈ [| 0; n-1 |], fᵢ (f restreint à ]aᵢ; aᵢ₊₁[ ) soit continue et puisse être prolongée par continuité sur [aᵢ; aᵢ₊₁]
Si f continue par morceaux sur [a; b] alors f bornée

Question 2

f : [a; b] → E en escalier (déf)

Answer 2

Si ∃σ=(aᵢ)ᵢ subdivision de [a; b], Ɐi ∈ [| 0; n-1 |], fᵢ (f restreint à ]aᵢ; aᵢ₊₁[ ) soit constante (=cᵢ)
Alors ∫f = ∑(aᵢ₊₁ - aᵢ)*cᵢ

Question 3

f : [a; b] → E en escalier, inégalité avec les normes

Answer 3

|| ∫f || ≤ ∫|| f || ≤ (b-a) * || f ||∞

Question 4

f : [a; b] → E continue par morceaux, lien avec les fonctions en escalier

Answer 4

∃(φn) suite de fonctions en escalier sur [a; b] telle que || f - φn ||∞ → 0

Question 5

Somme de Riemann

Answer 5

f : [a; b] → E continue par morceaux
(b-a)/n * ∑ f(a + k*(b-a)/n) → ∫ f(x)dx
La somme va de 0 à n-1 et l’intégrale de a à b

Question 6

Formule de Taylor-Young

Answer 6

f : I → E de classe Cⁿ⁻¹ admettant une dérivée n-ième en a

f(b) = ∑ (b-a)^k * 1/k! * f(k-ième)(a) + o(|b-a|ⁿ)

Question 7

Formule de Taylor avec reste intégrale

Answer 7

f : I → E de classe Cⁿ⁺¹
f(b) = ∑ (b-a)^k * 1/k! * f(k-ième)(a) + ∫ (b-x)ⁿ * 1/n! * f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)dx
La somme va de 0 à n et l’intégrale de a à b

Question 8

Inégalité de Taylor-Lagrange

Answer 8

f : I → E de classe Cⁿ⁺¹

|| f(b) - ∑ (b-a)^k * 1/k! * f(k-ième)(a) || ≤ |b-a|ⁿ⁺¹ * 1/(n+1)! * sup || f⁽ⁿ⁺¹⁾ ||

Question 9

Équation de la tangente en f(t₀) = (x₀, y₀)

Answer 9

| | y-y₀ y’(t₀) |

x-x₀ x’(t₀) | = 0

Question 10

Équation de la normale en f(t₀) = (x₀, y₀)

Answer 10

(x-x₀, y-y₀) • (x’(t₀), y’(t₀)) = 0

Question 11

∫dt/tⁿ converge (on intègre entre a>0 et +∞)

Answer 11

<=> n > 1

Question 12

Inégalité des accroissements finis

Answer 12

f : I → E de classe C¹ et (a,b) ∈ I²

|| f(b) - f(a) || ≤ |b-a| * sup || f’ ||

Question 13

Définition : (fn)n converge uniformément vers f sur A si

Answer 13

Ɐε>0, ∃n₀∈ℕ, ∀x∈A, ∀n∈ℕ, n≥n₀ => || fn(x) - f(x) || ≤ ε

Question 14

(fn)n converge uniformément vers f sur A

Answer 14

<=> (∃n’∈ℕ, ∀n∈ℕ, n≥n’ => fn - f bornée) et (Ɐε>0, ∃n₀∈ℕ, ∀n∈ℕ, n≥n₀ => sup || fn - f || ≤ ε)

Question 15

OSQ ∑fn converge simplement sur A

Équivalence avec ∑fn converge absolument sur A

Answer 15

Ɐε>0, ∃n₀∈ℕ, ∀x∈A, ∀n∈ℕ, n≥n₀ => || ∑fk(x) [k variant entre n+1 et + ∞] || ≤ ε
<=> (Rn)n converge uniformément vers 0 sur A

Question 16

∑fn converge normalement sur A

Answer 16

∑|| fn ||∞ converge

Question 17

Théorème de Weierstrass

Answer 17

f : [a; b] → K continue

Alors il existe une suite de polynômes (Pn)n qui converge vers f uniformément sur [a; b]

Question 18

Théorème de continuité

Answer 18

∀n∈ℕ, fn est continue en a et (fn)n converge uniformément vers f sur un vois de a alors f continue en a

Question 19

Théorème de continuité pour les séries de fonctions

Answer 19

∀n∈ℕ, fn est continue sur A
∑fn converge uniformément sur tout compact de A
Alors la fonction somme est continue sur A

Question 20

Théorème de double limite

Answer 20

∀n∈ℕ, fn(x) → dn
(fn)n converge uniformément vers f sur A
Alors (dn)n converge vers d et f(x) → d

Question 21

Théorème de double limite pour les séries de fonctions

Answer 21

∀n∈ℕ, fn(x) → dn et ∑fn converge uniformément sur A
Alors ∑dn converge
et ∑fn(x) [n variant de 0 à + ∞] → ∑dn [n variant de 0 à + ∞]

Question 22

Théorème d’intégration sur un segment pour les séries de fonctions

Answer 22

∀n∈ℕ, fn : I → F continue
S ⊂ I segment
∑fn converge uniformément sur S
Alors ∫∑fn = ∑∫fn

Question 23

Théorème de dérivation

Answer 23

∀n∈ℕ, fn : I → F de classe C¹
(fn)n converge simplement vers f sur I
(fn’)n converge uniformément vers g sur tout segment inclus dans I
Alors f de classe C¹ et f’ = g
De plus (fn)n converge vers f uniformément sur tout segment inclus dans I

Question 24

Théorème de dérivation pour les séries de fonctions

Answer 24

∀n∈ℕ, fn : I → F de classe C¹
∑fn converge simplement sur I
∑fn’ converge uniformément sur tout segment de I
Alors ∑fn (fonction somme) est C¹ et (∑fn)’ = ∑fn’

Question 25

On pose In = ∫sinⁿx dx (entre 0 et π/2)

1) Calculer I₀ et I₁
2) Montrer que la suite (Iᵢ) converge
3) Etablir une formule de récurrence entre Iᵢ et Iᵢ₋₂
4) Montrer que le produit (i +1)IᵢIᵢ₊₁ est constant
5) Calculer lim Iᵢ, lim Iᵢ / Iᵢ₊₁ et lim √i * Iᵢ
6) Calculer I₂ᵢ et I₂ᵢ₊₁ sous forme de produit

Answer 25

http: //www.xavierdupre.fr/html/colles/exo6cor_integrale.pdf
1) I₀ = π/2 et I₁ = 1
2) Suite décroissante minorée par 0
3) ∀i > 1, Iᵢ = (i-1)/i * Iᵢ₋₂
4) ∀i, (i +1)IᵢIᵢ₊₁ = π/2
5) lim Iᵢ = 0, lim Iᵢ / Iᵢ₊₁ = 1, lim √i * Iᵢ = √(π/2)
6) I₂ᵢ = π/2 * (2i)! / (2²ⁱ * i!²) et I₂ᵢ₊₁ = (2²ⁱ * i!²) / (2i+1)!

Question 26

∫dt/(b-t)ⁿ converge (on intègre entre a et b)

Answer 26

∫dt/(b-t)ⁿ converge <=> n < 1

Question 27

∫dt/(t-a)ⁿ converge (on intègre entre a et b)

Answer 27

∫dt/(t-a)ⁿ converge <=> n < 1

Question 28

Comparaison à une intégrale de référence :

a>0 et f : [a; +∞[ → ℝ+ continue par morceaux

Answer 28

Si ∃n>1, xⁿf(x) → l ∈ℝ+ alors ∫f converge (intégrale entre a et +∞)
Si ∃n≤1, xⁿf(x) → l >0 alors ∫f diverge (intégrale entre a et +∞)

Question 29

Comparaison à une intégrale de référence :

f : ]a; b] → ℝ+ continue par morceaux

Answer 29

Si ∃n<1, (x-a)ⁿf(x) → l ∈ℝ+ alors ∫f converge (intégrale entre a et b)
Si ∃n≥1, (x-a)ⁿf(x) → l >0 alors ∫f diverge (intégrale entre a et b)

Question 30

Comparaison à une intégrale de référence :

f : [a; b[ → ℝ+ continue par morceaux

Answer 30

Si ∃n<1, (b-x)ⁿf(x) → l ∈ℝ+ alors ∫f converge (intégrale entre a et b)
Si ∃n≥1, (b-x)ⁿf(x) → l >0 alors ∫f diverge (intégrale entre a et b)

Question 31

Intégration des relations de comparaison
f, g : [a; b[ → ℝ+ continues par morceaux
(b peut valoir +∞)
f(x) = O(g(x)) quand x tend vers b

Answer 31

Si ∫g [entre a et b] converge alors ∫f [entre a et b] converge et ∫f [entre x et b] = O(∫g [entre x et b]) quand x tend vers b
Si ∫f [entre a et b] diverge alors ∫g [entre a et b] diverge et ∫f [entre a et x] = O(∫g [entre a et x]) quand x tend vers b

Question 32

Pour A∈[0, π]
On pose t = tan(A/2)
sin A
cos A
tan A

Answer 32

sin A = 2t / (1+t²)
cos A = 1-t² / (1+t²)
tan A = 2t / (1-t²)

Question 33

Intégrale de Gauss

Answer 33

∫exp(-t²)dt (intégrale entre 0 et +∞) = √π / 2

Question 34

Soit f une application continue par morceaux sur [a; b], à valeurs dans E et u ∈ L(E, F) avec F de dimension finie
Résultat sur les intégrales

Answer 34

u(∫f) = ∫uof

On intègre sur [a; b]

Question 35

Inégalité de Cauchy-Schwarz pour les intégrales

Answer 35

f, g : [a; b[ → K continues par morceaux de carré intégrable
Alors fg intégrable et
| ∫fg | ≤ ∫|fg| ≤ √∫|f|² * √∫|g|²