Espaces préhilbertiens

Question 1

Définition d’un produit scalaire

Answer 1

Forme bilinéaire, positive (∀x∈E, (x|x) ≥ 0), définie et symétrique
En pratique, on montre une linéarité et la symétrie (au lieu de la bilinéarité et de la symétrie)

Question 2

Produit scalaire usuel sur Mn(ℝ)

Answer 2

(A|B) = tr( tA*B )

Question 3

Inégalité de Cauchy-Schwarz

Answer 3

(x|y) | ≤ ||x|| * ||y||
avec ||x|| = √(x|x)
Cas d’égalité : x et y sont linéairement dépendants

Question 4

|| x + y ||²

Answer 4

|| x + y ||² = ||x||² + ||y||² + 2(x|y)

Question 5

(Fᵢ)ᵢ famille orthogonale de sev de E (2 conséquences)

Answer 5

⊕Fᵢ (les Fᵢ sont en somme directe orthogonale)
∀i∈[|1; p|], xᵢ ∈ Fᵢ
Alors Σ||xᵢ||² = || Σxᵢ ||²

Question 6

(F₁ , … , Fᵣ) sev de E
Équivalence avec ⊕Fᵢ
Cas de F₁⊕F₂

Answer 6

∀(x₁, _ , xᵣ) ∈ F₁ × … × Fᵣ , Σxᵢ = 0 => ∀i ∈[|1; r|], xᵢ = 0
F₁⊕F₂ <=> F₁∩F₂ = {0}

Question 7

p projecteur : une équivalence et une implication

lien rang et trace

Answer 7

<=> pop = p
=> Im p ⊕ Ker p = E
=> rg p = tr p

Question 8

p projecteur sur F parallèlement à G

q projecteur sur G parallèlement à F

Answer 8

qop = poq = 0

p + q = id

Question 9

F sev de E tq E = F⊕(F⊥)

y ∈ E, x ∈ E : y = pF(x) (2 équivalences)

Answer 9

<=> y ∈ F et ∀z ∈ F, (x|z) = (y|z)

<=> y ∈ F et ∀z ∈ F, ||x-z|| ≥ ||x-y||

Question 10

F sev de E tq E = F⊕(F⊥)

Distance de x à F

Answer 10

d(x, F) = || x - pF(x) ||

Question 11

F sev de dim finie de E
(ε₁, _ , εᵣ) base orthonormale de F
Projection sur F de x ∈ E

Answer 11

pF(x) = Σ (x|εᵢ)εᵢ

Question 12

(xᵢ)ᵢ orthogonale tq ∀i ∈ I, xᵢ ≠ 0 : conséquence

Answer 12

(xᵢ)ᵢ est libre

Question 13

Orthonormalisation de Gram-Schmidt

Answer 13

(e₁, _ , eᵣ) famille libre de E
(ε₁, _ , εᵣ) tq ε₁ = e₁ / ||e₁||
et ∀k ∈ [|2; r|], εk = ek - Σ( ek | εᵢ )*εᵢ / || ek - Σ( ek | εᵢ )*εᵢ ||
(on somme sur i de 1 à k-1)
est orthonormale

Question 14

F sev de dim finie de E

Deux implications avec F⊥

Answer 14

E = F⊕(F⊥) 
F = (F⊥) ⊥

Question 15

Inégalité de Bessel

Answer 15

(eᵢ)ᵢ orthonormale, x ∈ E

La série Σ(eᵢ | x)² converge et la somme Σ(eᵢ | x)² ≤ ||x||²

Question 16

Définition d’une suite totale

Answer 16

(un)n suite d’éléments de E est totale si E = Vect (un)n

Question 17

u endomorphisme de E (euclidien) est (un automorphisme) orthogonal (définition + 3 équivalences)

Answer 17

u conserve le produit scalaire : (u(x) | u(y)) = (x|y)
<=> u conserve la norme ||u(x)|| = ||x||
<=> il existe B une base orthonormale tq (u(B)) soit orthonormale
<=> pour toute base orthonormale B, (u(B)) est orthonormale

Question 18

M ∈ Mn(K) orthogonale (définition + 2 équivalences)

Answer 18

tM*M = In
<=> (C1, _ , Cn) est une base orthonormale de ℝⁿ
<=> il existe B et B’ deux bases orthonormales de E (euclidien de dim n) tq M soit la matrice de passage de B vers B’ (M = MB(B’))

Question 19

Définition du produit mixte de (x₁, _ , xᵣ)

Answer 19

[x₁, _ , xᵣ] correspond au déterminant de (x₁, _ , xᵣ) dans une base orthonormale directe (il ne dépend pas de la base orthonormale directe choisie)

Question 20

O(2)

SO(2)

Answer 20

O(2) = {Rθ, θ∈ℝ} ∪ {Σθ, θ∈ℝ}
SO(2) = {Rθ, θ∈ℝ}
Rθ = (cosθ     -sinθ )
        (sinθ       cosθ )
Σθ = (cosθ     sinθ   )
        (sinθ       -cosθ )

Question 21

Rθ * Rθ’

Σθ * Σθ’

Answer 21

Rθ * Rθ’ = R(θ+θ’)

Σθ * Σθ’ = R(θ-θ’)

Question 22

M = MB(u) ∈ SO(3)
avec B une base orthonormale directe
Éléments caractéristiques de u

Answer 22

→ choisir ε₁ unitaire tq u(ε₁) = ± ε₁
- si -1 ∈ Sp(u)

→ tr u = 1 + 2cosθ

→ [ε₁, ε₂, u(ε₂)] = sinθ
ε₂ est choisi unitaire et orthogonal à ε₁

=> u rotation d’axe orienté par ε₁ et d’angle θ

Question 23

F sev de E (euclidien), u ∈ O(E)

F stable par u

Answer 23

Alors (F⊥) est stable par u

Question 24

E euclidien de dim r+1

x₁, _ , xᵣ) est libre (équivalence

Answer 24

x₁ ∧ _ ∧ xᵣ ≠ 0

Question 25

E euclidien de dim r+1

(x₁, _ , xᵣ) est orthonormale

Answer 25

(x₁, _ , xᵣ, x₁ ∧ _ ∧ xᵣ) est une base orthonormale directe de E

Question 26

u ∈ L(E) symétrique (définition)

E euclidien

Answer 26

∀(x, y) ∈ E², (u(x), y) = (x, u(y))

Question 27

u ∈ L(E) symétrique (E euclidien)

F sev de E stable par u

Answer 27

Alors (F⊥) est stable par u

Question 28

p projecteur

Équivalence avec p symétrique

Answer 28

<=> p projecteur orthogonal

Question 29

Théorème spectral

Answer 29

E euclidien
u ∈ L(E) symétrique
Alors E est la somme directe orthogonale des sous espaces propres de u ( E = ⊕⊥[Eλ(u)], λ ∈ Sp(u) )
De plus il existe une base orthonormale propre pour u

Conséquence du premier point : u diagonalisable

Question 30

Théorème spectral matriciel :

Answer 30

A ∈ Mn(ℝ) symétrique
Alors ∃P∈O(n) et D diagonale tq A = PDP⁻¹ = PD(tP)

Attention : la matrice est réelle

Question 31

p projecteur orthogonal (définition + 1 propriété)

Answer 31

Si F admet un supplémentaire orthogonal alors c’est la projection sur F parallèlement à son supplémentaire
||x||² = || pF(x) ||² + || x - pF(x) ||²

Question 32

u ∈ O(E) : conséquence pour Sp(u)

Answer 32

Sp(u) ⊂ {-1;1}

Question 33

F, G deux sev de E supplémentaires

Symétrie par rapport à F parallèlement à G

Answer 33

∀x∈E, ∃(f,g)∈ FxG, x = f + g

s(x) = f - g

Question 34

s∈L(E) symétrie : équivalence

Answer 34

<=> sos = id

Dans ce cas s est la symétrie par rapport à Ker(s-id) parallèlement à Ker(s+id)