Analyse

Question 1

Théorème de Heine

Answer 1

Toute fonction continue sur un segment est uniformément continue sur ce segment

Question 2

Image d’un segment par une fonction continue

Answer 2

Toute fonction continue sur un segment y est bornée et atteint ses bornes (possède donc un min et un max)

Question 3

f : I → ℝ est k-lipschitzienne (def)

Answer 3

∃k ∈ ℝ+, ∀(x, y) ∈ I², │f(y) - f(x) │ ≤ k*│x - y │

Question 4

Théorème des valeurs intermédiaires 1

Answer 4

Soient a < b deux réels et f : [a; b] → ℝ continue sur [a; b]
Si f(a)*f(b) ≤ 0, alors il existe c compris entre a et b tel que f(c) = 0

Question 5

Théorème des valeurs intermédiaires 2

Answer 5

f : I → ℝ continue sur I et a, b dans I

Pour tout k compris entre f(a) et f(b), il existe c compris entre a et b tel que f(c) = k

Question 6

Théorème des valeurs intermédiaires 3

Answer 6

L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle

Question 7

Théorème de Rolle

Answer 7

Soient a < b deux réels et f : [a; b] → ℝ
Si f est continue sur [a; b], dérivable sur ]a; b[, et f(a) = f(b)
Alors ∃c ∈ ]a; b[ tel que f’(c) = 0

Question 8

Théorème des accroissements finis

Answer 8

Soient a < b deux réels et f : [a; b] → ℝ
Si f est continue sur [a; b], dérivable sur ]a; b[
Alors ∃c ∈ ]a; b[ tel que f(b) - f(a) = f’(c)*(b-a)

Question 9

Inégalité des accroissements finis

Answer 9

Soient a < b deux réels et f : [a; b] → ℝ continue sur [a; b], dérivable sur ]a; b[
1/ Si ∃(m, M) ∈ ℝ², ∀x ∈ ]a; b[, m ≤ f’(x) ≤ M
alors m(b-a) ≤ f(b)-f(a) ≤ M(b-a)
2/ Si ∃K ∈ ℝ+, ∀x ∈ ]a; b[, │f’(x)│≤ K
alors │f(b)-f(a)│≤ K*│b-a│

Question 10

Théorème de prolongement des fonctions de classe Cp

Answer 10

f : [a; b] → ℝ de classe Cp sur [a; b[
Si f continue sur [a; b], et si la dérivée p-ième de f a une lim finie en b alors f est prolongeable en une fonction de classe Cp sur [a; b]

Question 11

Formule de Leibniz

Answer 11

Soient n un entier naturel et f, g : I → ℝ de classe Dⁿ (resp Cⁿ)
Alors fg de classe Dⁿ (resp Cⁿ) et la dérivée n-ième de fg correspond au binôme de Newton

Question 12

Racines n-ième de a = |a|*exp(iθ) ∈ ℂ

solutions de zⁿ = a

Answer 12

∀k∈ [|0; n-1|], zk = |a|^(1/n) * exp(iθ/n + i2kπ/n)

Question 13

z*Conj(z)

Answer 13

= |z|²

Question 14

tan’

Answer 14

tan’ = 1/cos² = 1 + tan²

Question 15

arcsin’

Answer 15

arcsin’(x) = 1/√(1-x²)

Question 16

arccos’

Answer 16

arccos’(x) = -1/√(1-x²)

Question 17

arctan’

Answer 17

arctan’(x) = 1/(1+x²)

Question 18

Relation avec arctan

Answer 18

arctan(x) + arctan(1/x) = signe(x) * π/2

Question 19

∀θ ∈ R, Tn(cos θ) = cos(nθ)

1) Existence et unicité
2) Relation de récurrence
3) Degré et coefficient dominant
4) Parité
5) Équation différentielle

Answer 19

https: //www.maths-france.fr/MathSpe/GrandsClassiquesDeConcours/Polynomes/PolynomesTchebychev.pdf
2) ∀n ∈ N, Tn+2 − 2XTn+1 + Tn = 0
3) T₀ = 1 et ∀n ∈ N, deg(Tn) = n et ∀n ∈ N, dom(Tn) = 2ⁿ⁻¹
4) Pour tout entier naturel n, Tn a la parité de n
5) ∀n ∈ N, (1 − X²)Tn′′ − XTn′ + n² * Tn = 0

Question 20

∑k, ∑k², ∑k³

Answer 20

∑k = n(n+1)/2
∑k² = n(n+1)(2n+1)/6
∑k³ = (n(n+1)/2)²

Question 21

Expression de uᵢ quand uᵢ₊₁ = a*uᵢ + b (a≠1)

Answer 21

On note l tel que a*l + b = l
uᵢ₊₁ - l = a(uᵢ - l) 
Donc (uᵢ - l)ᵢ est une suite géométrique
uᵢ - l = aⁱ (u₀ - l)
D'où uᵢ = aⁱ (u₀ - l) + l

Question 22

Suite linéaire récurrente d’ordre 2

uᵢ₊₂ = auᵢ₊₁ + buᵢ

Answer 22

r² - ar - b = 0 (Ec)
Si Ec possède deux racines distinctes r₁ et r₂
uᵢ = x₁r₁ⁱ + x₂r₂ⁱ
Si Ec possède une racine double r
uᵢ = (x₁ + ix₂)rⁱ
Si Ec possède deux racines complexes conjuguées zexp( ± jθ)
uᵢ = (x₁cos(iθ) + x₂sin(iθ))*zⁱ

Question 23

Primitive de (ln x)/x

Answer 23

1/2 * (ln x)²

Question 24

Primitive de ln x

Answer 24

x*ln x - x

Question 25

Équation du second degré à coefficients complexes

Answer 25

On écrit Δ = δ²
Puis δ = α+iβ
Et enfin x = (-b + δ)/2a
y = (-b -δ)/2a