Stochastik Wiederholung & Binominalverteilung

Question 1

Was sind Zufallsvorgänge?

Answer 1

Vorgänge mit nicht vorhersehbaren und sich gegenseitig ausschließenden Ergebnissen heißen Zufallsvorgänge. Unter kontrollierten Bedingungen

Question 2

Was ist der Ergebnisraum?

Answer 2

Verschiedenen möglichen Ergebnisse eine Zufallsvorgangs (Ergebnismenge)

Question 3

K

Answer 3

Anzahl der möglichen Ergebnisse beim n=… ist K

Question 4

Was ist ein kleines omega

Answer 4

einzelnen möglichen Ergebnisse

Question 5

Was ist einZufallsereignis?

Answer 5

ist die Zusammenfassung verschiedener Ereignisse (alle Fälle in denen kopf einmal vorkam)

Question 6

Elementarereignisse

Answer 6

enthalten als Element nur ein einziges Ergebnis

Question 7

leere Menge {} oder ∅

Answer 7

unmögliches Ereignis, da bei

einem Zufallsvorgang immer ein Ereignis eintreten muss.

Question 8

Ereignissmenge

Answer 8

ist ein sicheres Ereignis , da ein Ereignis eintreten wird

Question 9

Disjunkte Ereignisse

Answer 9

schließen sich gegenseitig aus, dass heißt sie haben keine überschneidenden Ergebnisse
SCHNITTMEGE IST EINE LEERE MENGE

Question 10

Was sind Schnitt & Vereinigungsmengen?

Answer 10

Ereignisse

Question 11

Laplace WSK

Answer 11

Wenn alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind und die Anzahl der möglichen Ergebnisse endlich ist, dann gilt für die Wahrscheinlichkeit P eines Ereignisses A
𝑃 𝐴 = Anzahl der für 𝐴 günstigen Ergebnisse/ Anzahl 𝐾 aller möglichen Ergebnisse

Question 12

Was beschreibt die WSK P?

Answer 12

die Sicherheit, dass ein Ereignis eintritt

Question 13

Wozu verwenden wir die Kombinatorik?

Answer 13

Um die Anzahl möglicher Ereignisse zu bestimmen,

Question 14

Welche Urnenmodelle git es in der Kobinatorik?

Answer 14

Modell mit Zurücklegen und mit Berücksichtigung der Reihenfolge
Modell ohne Zurücklegen und mit Berücksichtigung der Reihenfolge
Modell mit Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge
Modell ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge

Question 15

Modell mit Zurücklegen und mit Berücksichtigung der Reihenfolge

Answer 15

k: Anzahl der möglichen Einzelereignisse n: Anzahl der Ziehungen

(Beispiel :Eine Lerngruppe aus 6 Studierenden, welche eine Klausur entweder bestehen oder nicht bestehen, hat 𝐾 = 26 = 64 mögliche bestanden/nicht- bestanken – Kombinationen.)

Question 16

Modell ohne Zurücklegen und mit Berücksichtigung der Reihenfolge

Answer 16

Anzahl der möglichen Einzelereignisse n: Anzahl der Ziehungen
.Beispiel: 8 Studierende werden zufällig auf 5 Termine für mündliche Prüfungen verteilt. Es gibt also 𝐾 = 8! = 8 ∗ 7 ∗ 6 ∗ 5 ∗ 4 = 6720 Möglichkeiten. Jede einzelne
3! 1
Terminzuteilung hat also eine Wahrscheinlichkeit von 𝑃 𝐴 =1/6720 .

Question 17

Modell ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge

Answer 17

k: Anzahl der Elemente der Grundgesamtheit n: Anzahl der Ziehungen

Beispiel: In einer Vorlesung mit 150 Teilnehmern werden zufällig 5 ausgewählt, um
einen Fragebogen zur Evaluation auszufüllen. Es gibt also 𝐾 = 150 = 591.600.030
mögliche Fünfergruppen.

Question 18

Modell mit Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge

Answer 18

k: Anzahl der Elemente der Grundgesamtheit n: Anzahl der Ziehungen
Beispiel: Beim Kniffeln werden 5 Würfel gewürfelt. Jeder Würfel kann 6 mögliche Ergebnisse anzeigen. Dadurch sind 6 + 5 − 1 = 252 erwürfelte Kombinationen
beim Kniffel möglich.
5

Question 19

Binominalverteilung

Answer 19

wiederholten Zufallsvorgang mit zwei möglichen Ausgängen. Wenn die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Zufallsvorgang bekannt ist, kann geschätzt werden, wie groß die WSK für eine bestimmte Anzahl ist.

Question 20

Durch welche Parameter lässt sich die Binominalverteilung beschreiben.

Answer 20

Erwartungswert E(x) und Varianz

Question 21

Welche weiteren Verteilungen gibt es neben der Binominalverteilung für diskrete Zufallsvariablen?

Answer 21

Die Multinomialverteilung ist für Fälle wo jedes Zufallsereignis nicht nur zwei sondern mehr mögliche Ausgänge hat.
❖Im Unterschied zur Binomialverteilung sind die einzelnen Ziehungen bei der hypergeometrischen Verteilung solche ohne Zurücklegen.
❖ Bei der geometrischen Verteilung erfasst die Zufallsvariable die Zahl der Versuche, die nötig sind, bis ein Ereignis zum ersten Mal auftritt (zB eine 1 gewürfelt wird).
❖Die Poisson-Verteilung wird genutzt, um die Wahrscheinlichkeit von seltenen Ereignissen innerhalb von begrenzten Zeitintervallen zu beschreiben.

Question 22

WSK nach Kolmogorov

Answer 22

Die Axiome gelten für endliche Mengen W möglicher Ergebnisse. Sie können aber auch auf unendliche Mengen verallgemeinert werden (die Details sparen wir uns). Die Wahrscheinlichkeit P ist eine Funktion, die jedem Ereignis eine reelle Zahl zuordnet.

Question 23

Axiome von Kolmogorov ?

Answer 23

Axiom 1: Nichtnegativität. Für alle Teilmengen A von e

Question 24

Rechenregeln für die WSK

Answer 24

Rechenregel 1: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B ist größer oder gleich der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A, wenn A eine Teilmenge von
B ist.
Rechenregel 2: Das Gegenereignis 𝐴 strich enthält alle Ergebnisse von 𝛺, die nicht
her
in A enthalten sind. Für die Wahrscheinlichkeit von 𝐴strich gilt:
P(Astrich) = 1-P(A)
Rechenregel 3: Für die Wahrscheinlichkeit von Vereinigungsmengen von
nicht-disjunkten Mengen gilt:
􏰁
𝑃𝐴∪𝐵 =𝑃(𝐴) +𝑃(𝐵) −𝑃(𝐴∩𝐵 )
Rechenregel 4: Auch für mehr als zwei paarweise disjunkte Ereignisse gilt, dass die WSK der Vereinigungsmenge den addierten Einzelwahrscheinlichkeiten entspricht.

Question 25

Gesetz der Großen Zahlen?

Answer 25

Zufall hat kein „Gedächtnis“, daher gleichen sich die Würfe von Kopf und Zahl auch nicht aus. In diesem Beispiel war über lange Zeit Zahl deutlich häufiger geworfen. Wenn die Münzwürfe weitergingen wäre mit weiteren und sogar größeren Auslenkungen zu rechnen.
Was sich aber stabilisieren wird, ist die relative Häufigkeit. Diese nähert sich bei steigendem n der Wahrscheinlichkeit an. Dies ist das schwache Gesetz der großen Zahl. Wenn n gegen unendlich geht, wir der Abstand zwischen relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit beliebig klein.
Aus diesem Grund kann eine unbekannte Wahrscheinlichkeit auch aus einer relativen Häufigkeit geschätzt werden (umso besser, je größer n ist).

Question 26

Frequentistische Interpretation der Wahrscheinlichkeit

Answer 26

Wahrscheinlichkeit ist dabei nichts anderes als die relative Häufigkeit eines Ereignisses, wenn das Zufallsexperiment immer wieder (theoretisch sogar. unendlich häufig) wiederholt wird.

Question 27

Odds Ratio

Answer 27

WSK als Chance

Question 28

Was gilt bei der Interpretation von Chancen?

Answer 28

Ist die Chance kleiner als 1 ist das Ereignis unwahrscheinlicher als das Gegenereignis.
Ist die Chance genau 1 so sind Ereignis und Gegenereignis gleich wahrscheinlich.
Ist die Chance größer als 1 ist das Ereignis wahrscheinlicher als das Gegenereignis.

Question 29

Eigenschaften des Oddo Ratio?

Answer 29

Das Odds-Ratio ist mindestens 0. Dieser Wert entsteht, wenn eine der Häufigkeiten 0 ist. Dann muss die Tabelle so angeordnet werden, dass die 0 im Zähler steht.
Das Odds-Ratio hat keine Obergrenze.
Ist das Odds-Ratio kleiner als 1, so ist die Chance in der ersten Gruppe
kleiner.
Ist das Odds-Ratio genau 1, so sind die Chancen gleich groß.
Ist das Odds-Ratio größer als 1, so ist die Chance in der ersten Gruppe größer.
Multipliziert man eine Zeile oder Spalte mit einem positiven Wert, ändert sich das Odds-Ratio nicht.