Reihen und Funktionenfolgen

Question 1

Wie ist eine Reihe definiert und wann ist sie konvergent bzw. divergent? Wie stehen die Begriffe “Folge”, “Partialsumme” und “Summand” im Zusammenhang zu einer Reihe?

Answer 1

Sie (aₙ) eine Folge komplexer Zahlen (hier), und sei A eine komplexe Zahl. Eine Reihe ist definiert als
die Summe von n=0 bis ∞ aller aₙ.
Für diese Notation gilt:

Σ∞ₙ₌₀ aₙ ⇔ A = lim(N → ∞) Σᴺₙ₌₀ aₙ.

Falls der Grenzwert einer Reihe existiert, so nennen wir die Reihe konvergent und den Grenzwert den “Wert der Reihe”. Weiter ist aₙ das n-te Glied bzw. der n-te Summand der Reihe und die Summe Σᴺₙ₌₀ aₙ die Partialsumme der Folge (aₖ)ₖ.
Eine Reihe ist divergent, falls sie nicht konvergiert, d.h., falls kein Grenzwert existiert.

Question 2

Was gilt für die Folge (aₙ)ₙ, wenn die Reihe Σ∞ₖ₌₁ aₖ konvergiert?

Answer 2

Dann ist die Folge (aₙ)ₙ eine Nullfolge, d.h. es gilt lim(n → ∞) aₙ = 0.

Question 3

Wie ist die geometrische Reihe definiert und wann konvergiert sie?

Answer 3

Die geometrische Reihe Σ∞ₙ₌₀ qⁿ konvergiert genau dann, wenn |q| < 1 ist. In diesem Fall gilt:
Σ∞ₖ₌₀ qᵏ = 1 / (1 - q)

Question 4

Wie ist die harmonische Reihe definiert und was gilt für ihren Grenzwert?

Answer 4

Die harmonische Reihe ist gegeben durch Σ∞ₖ₌₀ 1/k. Sie divergiert, da der Grenzwert der Partialsummen gegen Unendlich strebt.

(Intuitiv kann man dies so begründen:
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … ist sicher grösser als 1 + 1/2 + 1/4 + 1/4 + 1/8 + 1/8 + … . So dass man unendlich viele Partialsummen von 1/2 = n/2 * (1/n) erhält. Somit sieht man, dass die Summe gegen unendlich strebt.)

Question 5

Was gilt für Multiplikation und Addition von konvergenten Reihen?

Answer 5

Seien Σ∞ₖ₌₁ aₖ und Σ∞ₖ₌₁ bₖ konvergente Reihen und 𝛼, 𝛽 ∈ ℂ. Dann gilt:

Σ∞ₖ₌₁ (𝛼aₖ + 𝛽bₖ) = 𝛼Σ∞ₖ₌₁ aₖ + 𝛽Σ∞ₖ₌₁ bₖ.

Question 6

Was gilt für Reihen im Bezug zu Vektorräumen?

Answer 6

Konvergente Reihen bilden einen Vektorraum über ℂ und der Wert der Reihe stellt eine lineare Abbildung auf diesem Vektorraum nach ℂ dar.

Question 7

Was gilt für eine Reihe Σ∞ₖ₌₁ aₖ mit nicht-negativen Gliedern aₖ ≥ 0 für alle k ∈ ℕ und ihre Partialsummen?

Answer 7

Für eine Reihe Σ∞ₖ₌₁ aₖ mit nicht-negativen Gliedern aₖ ≥ 0 für alle k ∈ ℕ bilden die Partialsummen sₙ = Σⁿₖ₌₁ aₖ eine monoton wachsende Folge. Falls diese Folge der Partialsummen beschränkt ist, dann konvergiert die Reihe Σ∞ₖ₌₁ aₖ. Ansonsten gilt:
Σ∞ₖ₌₁ aₖ = lim(n → ∞) sₙ = ∞.

Question 8

Was besagt das Majoranten- bzw. Minorantenkriterium? Was sind folglich Majoranten und Minoranten einer Reihe?

Answer 8

Für zwei Folgen Σ∞ₖ₌₁ aₖ und Σ∞ₖ₌₁ bₖ mit 0 ≤ aₖ ≤ bₖ für alle k ∈ ℕ gilt:

Σ∞ₖ₌₁ bₖ konvergiert ⇒ Σ∞ₖ₌₁ aₖ konvergiert.
Σ∞ₖ₌₁ aₖ divergiert ⇒ Σ∞ₖ₌₁ bₖ divergiert.

Dies gilt auch, wenn das Kriterium 0 ≤ aₙ ≤ bₙ nur für alle hinreichend grossen n ∈ ℕ gilt.

Man nennt in diesem Falle Σ∞ₖ₌₁ bₖ eine Majorante der Reihe Σ∞ₖ₌₁ aₖ und Σ∞ₖ₌₁ aₖ eine Minorante der Reihe Σ∞ₖ₌₁ bₖ.

Question 9

Wann spricht man bei einer Reihe von absoluter Konvergenz? Wie nennt man den Fall, wenn eine Reihe nicht absolut konvergiert?

Answer 9

Eine Reihe Σ∞ₙ₌₁ aₙ mit komplexen Summanden ist absolut konvergent, falls die Reihe Σ∞ₙ₌₁ |aₙ| konvergiert. Die Reihe ist bedingt konvergent, falls sie nicht absolut konvergiert.

Question 10

Was ist die Aussage des Riemann’schen Umordnungssatzes?

Answer 10

Sei Σ∞ₙ₌₁ aₙ eine bedingt konvergente Reihe mit reellen Gliedern, und sei A ∈ ℝ. Es existiert eine Bijektion 𝜑: ℕ → ℕ, so dass gilt:

A = Σ∞ₙ₌₀ a_𝜑(n)*

*(Anmerkung: “𝜑(n)” ist ein Index von a).

Question 11

Was ist eine alternierende Reihe?

Answer 11

Für eine Folge (aₙ)ₙ nichtnegativer Zahlen bezeichnen wir die Reihe Σ∞ₙ₌₁ (-1)ⁿ⁺¹aₙ als eine alternierende Reihe.

(Intuitiv heisst das, das Vorzeichen der Summanden alterniert mit jedem Glied, z.B. 1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6…)

Question 12

Was besagt das Konvergenzkriterium von Leibnitz?

Answer 12

Sei (aₙ)∞ₙ₌₀ eine monoton fallende Folge nichtnegativer reeller Zahlen, die gegen Null konvergiert. Dann konvergiert die alternierende Reihe Σ∞ₖ₌₀ (-1)ᵏaₖ und es gilt:

Σ²ⁿ⁻¹ₖ₌₀ (-1)ᵏaₖ ≤ Σ∞ₖ₌₀ (-1)ᵏa ≤ Σ²ⁿₖ₌₀ (-1)ᵏaₖ, für alle n ∈ ℕ.

(Intuitiv ist dies logisch, da für die Partialsummen an der Stelle von ungeraden Folgegliedern immer ein negativer Summand als letztes folgt, wobei bei der darauffolgenden Partialsumme ein positiver Summand zu erster Partialsumme addiert wird.)

Question 13

Was besagt das Konvergenzkriterium von Cauchy?

Answer 13

Die Reihe komplexer Zahlen Σ∞ₖ₌₁ aₖ konvergiert genau dann, wenn es zu jedem 𝜀 > 0 ein N ∈ ℕ gibt, so dass für n ≥ m ≥ N die Aussage
|Σⁿₖ₌ₘ aₖ| < 𝜀
erfüllt ist.

Question 14

Wie ist die Dreiecksungleichung für absolut konvergente Reihen Σ∞ₙ₌₁ aₙ definiert?

Answer 14

Für eine absolut konvergente Reihe Σ∞ₙ₌₁ aₙ gilt:

|Σ∞ₙ₌₁ aₙ| ≤ Σ∞ₙ₌₁ |aₙ|

Question 15

Was besagt das Majorantenkriterium?

Answer 15

Sei (aₙ)ₙ eine komplexe und (bₙ)ₙ eine reelle Folge mit |aₙ| ≤ bₙ für alle hinreichend grossen n ∈ ℕ.
Falls Σ∞ₙ₌₁ bₙ konvergiert, dann ist Σ∞ₙ₌₁ aₙ absolut konvergent, und daher auch konvergent?

Question 16

Was besagt das Cauchy-Wurzelkriterium?

Answer 16

Sei (aₙ)ₙ eine Folge komplexer Zahlen und
𝛼 = limsup(n → ∞) ⁿ√|aₙ| ∈ ℝ ∪ {∞}.
Dann gilt:
𝛼 < 1 ⇒ Σ∞ₙ₌₁ aₙ konvergiert absolut, und
𝛼 > 1 ⇒ Σ∞ₙ₌₁ aₙ divergiert.
𝛼 = 1 ⇒ keine Aussage möglich.

Question 17

Was besagt D’Alemberts Quotientenkriterium?

Answer 17

Für eine Folge komplexer Zahlen (aₙ)ₙ mit aₙ≠0 gilt für
𝛼 = lim(n → ∞) (|aₙ + 1| / |aₙ|) mit n ∈ ℕ:
𝛼 < 1 ⇒ Σ∞ₙ₌₁ aₙ konvergiert absolut, und
𝛼 > 1 ⇒ Σ∞ₙ₌₁ aₙ divergiert.
𝛼 = 1 ⇒ keine Aussage möglich.

Question 18

Inwiefern ist es möglich, absolut konvergente Reihen umzuformen?

Answer 18

Nach dem Umordnungssatz gilt für eine absolut konvergente Reihe Σ∞ₙ₌₀ aₙ und eine Bijektion 𝜑: ℕ → ℕ, dass dann die Reihe Σ∞ₙ₌₀ a_𝜑(n) absolut konvergent ist und:
Σ∞ₙ₌₀ aₙ = Σ∞ₙ₌₀ a_𝜑(n).

(Beweis s. Skript S. 177)

Question 19

Was gilt laut dem Produktsatz für das Produkt von zwei absolut konvergenten Reihen Σ∞ₙ₌₀ aₙ und Σ∞ₙ₌₀ bₙ?

Answer 19

Seien Σ∞ₙ₌₀ aₙ und Σ∞ₙ₌₀ bₙ zwei absolut konvergente Reihen und 𝛼: ℕ → ℕ × ℕ eine Bijektion gegeben durch 𝛼(n) = (𝜑(n), 𝜓(n)) gegeben, dann gilt:

Σ∞ₙ₌₀ a_𝜑(n)b_𝜓(n) = Σ∞ₙ₌₀ aₙ * Σ∞ₙ₌₀ bₙ.

(Bemerke, dass der Grenzwert folglich dem Grenzwert des Produkts beider Reihen entspricht und wir die Abbildungen 𝜑 und 𝜓 definieren, da wir eindeutige Indizes haben wollen, da wir hier eine “zweidimensionale” Summe betrachten: Vgl. Abb. und Beweis Skript S. 177f.)

Question 20

Welche Ungleichung folgt aus dem Produktsatz für zwei absolut konvergente Reihen?

Answer 20

Aus dem Produktsatz
Σ∞ₙ₌₀ a_𝜑(n)b_𝜓(n) = Σ∞ₙ₌₀ aₙ * Σ∞ₙ₌₀ bₙ
folgt für die beiden Reihen die Ungleichung:

Σⁿ²⁻¹ₖ₌₀ |a_𝜑(k)||b_𝜓(k)| =
Σⁿ⁻¹ₗ₌₀ |aₗ| * Σⁿ⁻¹ₘ₌₀ |bₘ| ≤ Σ∞ₗ₌₀ |aₗ| * Σ∞ₘ₌₀ |aₘ|.

Da für eine Reihe mit nichtnegativen Termen die Folge der Partialsummen monoton wachsend ist, folgt daraus, dass die Reihe Σ∞ₖ₌₁ |a_𝜑(k)||b_𝜓(k)| konvergiert und damit, dass die Reihe links im Produktsatz absolut konvergent ist.

Question 21

Was besagt das Korollar über das Cauchy-Produkt absolut konvergenter Reihen?

Answer 21

Falls Σ∞ₙ₌₀ aₙ und Σ∞ₙ₌₀ bₙ absolut konvergente Reihen mit komplexen Gliedern sind, dann gilt:
Σ∞ₙ₌₀ (Σ∞ₙ₌₀ aₙ₋ₖ bₖ) = (Σ∞ₙ₌₀ aₙ) (Σ∞ₙ₌₀ bₙ),
wobei die Reihe Σ∞ₙ₌₀ (Σ∞ₙ₌₀ aₙ₋ₖ bₖ) absolut konvergent ist.

(Beweis s. Skript S. 178f.)