Potenzreihen Flashcards
Was ist eine Potenzreihe und wie ist sie definiert? Wie nennt man die beiden Komponenten einer Potenzreihe?
Sei K ein Körper. Eine Potenzreihe mit Koeffizienten in K ist eine Folge (aₙ)∞ₙ₌₀ in K, suggestiv geschrieben als Reihe:
f(T) = Σ∞ₙ₌₀ aₙTⁿ,
wobei das sinnfreie Symbol T Variable und das Element aₙ ∈ K Koeffizient von Tⁿ genannt wird.
Welche algebraischen Eigenschaften erfüllt die Struktur der Potenzreihen und um was für eine Struktur handelt es sich folglich?
Da auf der Menge aller formalen Potenzreihen eine Addition (1) und eine Multiplikation (2) mit Eins- (3) und Nullelement (4) gegeben ist, handelt es sich um den Ring von Potenzreihen K[[T]] mit Koeffizienten in K.
(1) Σ∞ₙ₌₀ aₙTⁿ + Σ∞ₙ₌₀ bₙTⁿ = Σ∞ₙ₌₀ (aₙ + bₙ)Tⁿ
(2) (Σ∞ₙ₌₀ aₙTⁿ)(Σ∞ₙ₌₀ bₙTⁿ) = Σ∞ₙ₌₀ (Σ∞ₖ₌₀ aₙ₋ₖ bₖ)Tⁿ
(3) 0 = Σ∞ₖ₌₀ ∘ Tᵏ
(4) 1 = 1 + Σ∞ₖ₌₁ ∘ Tᵏ
Anmerkung: (2) erhält man durch Ausmultiplizieren und Zusammenfassen der Potenzen.
Wann ist eine Potenzreihe ein Polynom und was ist der Unterschied zwischen Potenzreihen und Polynomen?
Eine Potenzreihe ist ein Polynom, wenn und nur wenn alle bis auf endlich viele ihrer Koeffizienten Null sind. Im Gegensatz zu Polynomen können Potenzreihen nicht in Elementen von K ausgewertet werden.
Wie ist der Konvergenzradius einer formalen Potenzreihe definiert?
Sei f(T) = Σ∞ₙ₌₀ aₙTⁿ ∈ ℂ[[T]] eine formale Potenzreihe mit komplexen Koeffizienten. Der Konvergenzradius von f ist die Zahl R ∈ ℝ ≥ 0 oder das Symbol R = ∞, definiert durch: 𝜌 = limsup(n → ∞) ⁿ√|aₙ| und
R = 0, falls 𝜌 = ∞, R = 𝜌⁻¹, falls 0 < 𝜌 < ∞, R = ∞, falls 𝜌 = 0.
Bemerke: 𝜌 = 0 oder 𝜌 = ∞ sind Extremfälle, wobei 0 < 𝜌 < ∞ der Normalfall ist.
Was lässt sich über die Konvergenz formaler Potenzreihen mithilfe des Konvergenzradius aussagen?
Sei Σ∞ₙ₌₀ aₙTⁿ ∈ ℂ[[T]] eine Potenzreihe mit positivem Konvergenzradius R, und sei r eine positive reelle Zahl mit r < R. Sei weiter D = ‾B(0, r) und fₙ: D → ℂ die Funktion gegeben durch fₙ(z) = Σⁿₖ₌₀ aₖzᵏ. Dann gilt:
(1) Die Reihe Σ∞ₙ₌₀ aₙzⁿ konvergiert absolut für alle z ∈ ℂ mit |z| < R, und divergiert für alle z ∈ ℂ mit |z| > R.
(2) Für z ∈ B(0, R) setze f(z) = Σ∞ₙ₌₀ aₙzⁿ. Die Folge von Funktionen (fₙ)∞ₙ₌₀ konvergiert gleichmässig gegen die Funktion f eingeschränkt auf D.
(Beweis s. Skript S. 186)
Wie kann der Konvergenzradius (falls existent) einer Folge rekursiv definiert werden?
Für eine Potenzreihe Σ∞ₙ₌₀ aₙTⁿ mit aₙ ≠ 0 für alle n ∈ ℕa gilt:
R = lim(n → ∞) (|aₙ| / |aₙ₊₁|).
Was folgt für den Konvergenzradius zweier Reihen bezüglich ihrer Summe und ihres Produkts?
Sei R ≥ 0 und seien f(T) = Σ∞ₙ₌₀ aₙTⁿ und g(t) = Σ∞ₙ₌₀ bₙTⁿ zwei Potenzreihen mit Konvergenzradien mindestens R. Dann haben auch die Summe f(T) + g(T) und das Produkt f(T)g(T) Konvergenzradien mindestens R.
Was besagt der Abelsche Grenzwertsatz?
Sei Σ∞ₙ₌₀ aₙTⁿ ∈ ℂ[[T]] eine Potenzreihe mit positivem Konvergenzradius R, derart, dass die Reihe Σ∞ₙ₌₀ aₙRⁿ konvergiert. Dann ist die Funktion f: (-R, R] → ℂ gegeben durch f(t) = Σ∞ₙ₌₀ aₙtⁿ stetig, und es gilt insbesondere:
Σ∞ₙ₌₀ aₙRⁿ = lim(t → R, t < R) Σ∞ₙ₌₀ aₙtⁿ
(Beweis s. Skript S. 188)
Ergänze den folgenden Satz zur Integrierbarkeit von Potenzreihen:
“Sei f(T) = Σ∞ₙ₌₀ cₙTⁿ ∈ ℂ[[T]] eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R > 0. Dann hat ______* denselben Konvergenzradius R, und es gilt ______ für alle ______.”
Wie nennt man *?
“Sei f(T) = Σ∞ₙ₌₀ cₙTⁿ ∈ ℂ[[T]] eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R > 0. Dann hat
F(T) = Σ∞ₙ₌₀ (aₙ/n+1)Tⁿ⁺¹
denselben Konvergenzradius R, und es gilt
∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) - F(a)
für alle
a, b ∈ (-R, R).”
Beachte, dass F(T) die Stammfunktion definiert.
Wie kann die Exponentialabbildung alternativ durch eine Reihe definiert werden und was gilt für den Konvergenzradius dieser Reihe?
Die Exponentialfunktion exp(x) kann alternativ durch die Exponentialreihe definiert werden:
exp(x) = Σ∞ₖ₌₀ (1 / k!)xᵏ.
Aus dem Quotientenkriterium folgt, dass der Konvergenzradius dieser Reihe unendlich ist.
(Beweis s. Skript S. 190)
Wie ist die komplexe Exponentialabbildung definiert und was für (vier) Eigenschaften hat diese Abbildung?
Die komplexe Exponentialabbildung ist die Funktion exp: ℂ → ℂ und ist gegeben durch:
exp(z) = Σ∞ₖ₌₀ (1 / k!)zᵏ für alle z ∈ ℂ.
Die komplexe Exponentialabbildung ist stetig und es gilt:
exp(z + w) = exp(z)exp(w) und |exp(z)| = exp(Re(z)) für alle z, w ∈ ℂ.
Insbesondere gilt |exp(iy)| = 1 für alle y ∈ ℝ.
(Beweis s. Skript S. 192)
Was gilt für die Integration der Exponentialfunktion?
Für alle a < b ∈ ℝ gilt ∫ₐᵇ exp(x) = exp(b) - exp(a).
Dies folgt aus dem Korollar über die Integration von Potenzreihen.
(Beweis s. Skript S. 192)
Wie sind Sinus- und Kosinusfunktion für z ∈ ℂ definiert?
Die Sinusfunktion für z ∈ ℂ ist gegeben durch:
sin(z) = Σ∞ₙ₌₀ ((-1)ⁿ / (2n + 1)!)z²ⁿ⁺¹.
Die Kosinusfunktion für z ∈ ℂ ist gegeben durch:
cos(z) = Σ∞ₙ₌₀ ((-1)ⁿ / (2n)!)z²ⁿ.
Was gilt für die Vorzeichen der Sinus- und Kosinusfunktion?
Da die Sinusfunktion ungerade ist, gilt: sin(-z) = -sin(z), und da die Kosinusfunktion gerade ist, gilt: cos(-z) = cos(z), für alle z ∈ ℂ.
Wie stehen Sinus-, Kosinus- und Exponentialfunktion in Relation zueinander?
Es gilt exp(iz) = cos(z) + isin(z). (Laut Jossen die "Mutter aller trigonometrischen Formeln".) Aus dieser Formel folgt: sin(z) = (exp(iz) - exp(-iz)) / 2i, cos(z) = (exp(iz) + exp(-iz)) / 2.
