Das Riemann-Integral Flashcards
Was ist eine Zerlegung eines Intervalls [a, b]?
Eine Zerlegeung von [a, b]…
…ist eine endliche Teilmenge von [a, b], welche in
endlich viele Teilungspunkte zerlegt wird:
a = x₀ < x₁ < … < xₙ₋₁ < xₙ = b, mit n ∈ ℕ.
…enthält also a und b sowie eine Auflistung ihrer
Elemente in aufsteigender Ordnung.
…ist auch eine spezielle Art von Partition von
[a, b] = {x₀} ∪ (x₀, x₁) ∪ {x₁} ∪ … ∪ (xₙ₋₁, xₙ) ∪ {xₙ}.
Was ist eine Verfeinerung von [a, b]?
Eine Zerlegung a = y₀ < y₁ < … < yₘ = b heisst Verfeinerung von a = x₀ < x₁ < … < xₙ = b, falls
{x₀, x₁, …, xₙ} ⊆ {y₀, y₁, …, yₘ} gilt.
Informell heisst das, dass die Zerlegung noch weitere Teilungspunkte enthalten kann (in etwa so wie man einen Bruch 1/3 auch zu 3/9 verfeinern kann).
Was ist eine Treppenfunktion?
Eine Funktion f: [a, b] → ℝ heisst Treppenfunktion bezüglich einer Zerlegung a = x₀ < x₁ < … < xₙ = b, falls es die Zerlegung von [a, b] gibt, so dass für k = 1, 2, …, n die Einschränkung von f auf das offene Intervall (xₖ₋₁, xₖ) konstant ist.
Das heisst, die Teilungspunkte können “machen, was sie wollen”, doch die Teile der Funktion zwischen den Punkten müssen konstant bleiben.
Welche arithmetische Eigenschaft gilt für zwei Treppenfunktionen f₁, f₂ auf [a, b] und zwei Elemente s₁, s₂ ∈ ℝ? Warum?
Auch s₁f₁ + s₂f₂ ist eine Treppenfunktion, da zu zwei Zerlegungen von [a, b] auch eine gemeinsame Verfeinerung a = x₀ < x₁ < … < xₙ = b, bezüglich welcher f₁, f₂ wiederum Treppenfunktionen sind. f₁, und f₂ sind also beide konstant auf (xₖ₋₁, xₖ), und demnach auch s₁f₁ + s₂f₂, was bedeutet, dass s₁f₁ + s₂f₂ eine Treppenfunktion bezüglich a = x₀ < x₁ < … < xₙ = b ist.
Was gilt für die Menge aller Treppenfunktionen
𝓣𝓕([a, b]) = {f ∈ 𝓕([a, b]) | f ist eine Treppenfunktion}?
Die Menge aller Treppenfunktionen 𝓣𝓕([a, b]) bilden an sich einen Untervektorraum des Vektorraums 𝓕([a, b]) der reellwertigen Funktionen auf [a, b]. Da auch das Produkt zweier Treppenfunktionen wieder eine Treppenfunktion ist, heisst das 𝓣𝓕 ist ein Ring.
Sind Treppenfunktionen beschränkt oder nicht? Begründe.
Da Treppenfunktionen endliche Wertemengen haben, sind sie beschränkt.
Wie ist das Integral ∫ einer Treppenfunktion f auf [a, b] definiert?
Sei f: [a, b] → ℝ eine Treppenfunktion bezüglich einer Zerlegung a = x₀ < x₁ < … < xₙ = b von [a, b]. Wir definieren das Integral von f auf [a, b] als die reelle Zahl:
∫ᵃᵦ f(x)dx = Σⁿₖ₌₁ cₖ(xₖ - xₖ₋₁),
wobei cₖ den Wert von f auf dem Intervall (xₖ₋₁, xₖ) bezeichnet.
(Anmerkung: ∫ᵃᵦ soll heissen: Intervall von a nach b. (Symbolik in Unicode nicht vorhanden!))
Für was stehen die Symbole “∫” und “dx” in der Integralrechnung?
“∫” steht für ein S für Summe.
“dx” steht für eine infinitesimale Länge, also xₖ - xₖ₋₁ für eine infinitesimal feine Zerlegung.
Was bedeutet folgende Aussage?
“Die Abbildung ∫ : 𝓣𝓕 ([a, b]) → ℝ ist linear.”
Das heisst, für alle f, g ∈ 𝓣𝓕 ([a, b]) und 𝛼, 𝛾 ∈ ℝ ist
𝛼f + 𝛾g eine Treppenfunktion, und es gilt:
∫ᵃᵦ (𝛼f + 𝛾g)(x)dx = 𝛼 ∫ᵃᵦ f(x) dx + 𝛾 ∫ᵃᵦ g(x) dx.
(Beweis s. Skript S. 103f.)
Was gilt für die Integrale zweier Treppenfunktionen f und g auf [a, b], wenn f ≤ g gilt?
∫ᵃᵦ fdx ≤ ∫ᵃᵦ gdx.
Was sind Unter- und Obersummen und wie kann man so das Riemann-Integral definienen?
Die Mengen aller Untersummen 𝒰(f) und Obersummen 𝒪(f) sind gegeben durch:
𝒰(f) = {∫ᵃᵦ udx | u ∈ 𝓣𝓕 und u ≤ f} und
𝒪(f) = {∫ᵃᵦ odx | o ∈ 𝓣𝓕 und f ≤ o}.
Falls f beschränkt ist, sind diese Mengen nich leer und es gilt ∫ᵃᵦ udx ≤ ∫ᵃᵦ odx. Daraus kann man schliessen, dass sup𝒰(f) ≤ inf𝒪(f).
Eine beschränkte Funktion f: [a, b] heisst Riemann-integrierbar, falls sup𝒰(f) = inf𝒪(f) gilt. Dieser gemeinsame Wert wird das Riemann-Integral von f genannt und geschrieben als:
∫ᵃᵦ fdx = sup𝒰(f) = inf𝒪(f).
Sei ∫ᵃᵦ fdx ein Riemann-Integral. Wie werden die Komponenten a, b, f und die Zahl ∫ᵃᵦ fdx genannt?
a = untere Integrationsgrenze
b = obere Integrationsgrenze
f = Integrand
…und die Zahl ∫ᵃᵦ fdx als den Flächeninhalt der Menge
{(x, y) ∈ ℝ² | a ≤ x ≤ b, und 0 ≤ y ≤ f(x)}.
Wann ist eine Funktion Riemann-integrierbar?
Eine Funktion f ist Riemann-integrierbar genau dann, wenn es zu jedem 𝜀 > 0 Treppenfunktionen u und o gibt, für die gilt:
u ≤ f ≤ o und ∫ᵃᵦ (o - u)dx < 𝜀.
Was gilt für die Menge der Riemann-integrierbaren Funktionen 𝓡([a, b])?
Tipp: Wie steht sie im Verhältnis zur Familie aller Funktionen 𝓕([a, b]) und was folgt daraus?
𝓡([a, b]) bildet einen linearen Unterraum von 𝓕([a, b]), das Integral ist eine lineare Funktion auf 𝓡([a, b]). Daraus folgt, dass für f, g ∈ 𝓡([a, b]) und c, d ∈ ℝ ist cf + dg integrierbar:
∫ᵃᵦ (cf + dg)dx = c * ∫ᵃᵦ f dx + d * ∫ᵃᵦ g dx.
Sei f: [a, b] → ℝ eine Funktion. Was sind Positivteil, Negativteil, und Betrag der Funktion f. Welche vier Gleichungen gelten?
Der Positivteil f⁺ ist gegeben durch f⁺(x) = max{0, f(x)}, der Negativteil f⁻ ist gegeben durch f⁻(x) = min{0, f(x)} und der Absolutbetrag |f| durch |f|(x) = |f(x)|. Es gilt:
f = f⁺ - f⁻,
|f| = f⁺ + f⁻,
f⁺ = (|f| + f) / 2
f⁻ = (|f| - f) / 2Was sind Netto- und Bruttoflächeninhalt unter einem Graph einer Funktion f?
Der Nettoflächeninhalt unter dem Graph einer Funktion f über einem Intervall [a, b] ist gegeben durch ∫ᵃᵦ fdx, der Bruttoflächeninhalt durch ∫ᵃᵦ |f|dx.
Sei f: [a, b] → ℝ eine integrierbare Funktion. Was gilt für Positiv- und Negativteil von f, was gilt für den Betrag von f?
Ist f: [a, b] → ℝ eine integrierbare Funktion, so ist auch f⁺, f⁻ und f integrierbar. Weiterhin gilt:
|∫ᵃᵦ fdx| ≤ ∫ᵃᵦ |f|dx.
Was gilt für die Integrierbarkeit monotoner Funktionen?
Jede monotone Funktion über einem kompakten Intervall f: [a, b] → ℝ ist Riemann-integrierbar.
(Beweis s. Skript S. 112)
Erkläre am Beispiel f: [a, b] → ℝ, x ↦ x², was eine stückweise monotone Funktion ist.
Was gilt für die Integrierbarkeit solcher Funktionen?
Eine Funktion f: [a, b] → ℝ heisst stückweise monoton, falls es eine Zerlegung a = x₀ < x₁ < … < xₙ = b von [a, b] gibt, so dass f|₍ₓₖ₋₁, ₓₖ₎ monoton für alle k ∈ {1, …, n} ist.
Betrachtet man die Polynomfunktion x ↦ x² über dem Intervall [a, b] für a < 0 < b, so sieht man, dass x² auf den beiden Abschnitten (a, 0) und (0, b) monoton ist.
Es folgt, dass jede stückweise monotone, beschränkte Funktion f: [a, b] → ℝ Riemann-integrierbar ist.
Was gilt für die Integrierbarkeit von Polynomfunktionen?
Polynomfunktionen auf [a, b] sind Riemann-integrierbar. Für alle Monome xᵈ mit d ≥ 0 gilt:
∫ᵃᵦ xᵈdx = (1 / (d + 1)) * (bᵈ⁺¹ - aᵈ⁺¹ ).
(Beweis s. Skript S. 114)
Was gilt für die Integrierbarkeit stetiger Funktionen?
Sei f: [a, b] → ℝ eine stetige Funktion. Dann ist sie integrierbar.
(Beweis s. Skript S. 115)
