Folgen und Grenzwerte Flashcards
Was ist ein metrischer Raum und welche drei Eigenschaften muss er erfüllen?
Ein metrischer Raum (X, d) ist eine Menge X gemeinsam mit einer Abbildung X × X → ℝ, die die Metrik auf X genannt wird und folgende Eigenschaften erfüllt:
(1) Definitheit: Für alle x₁, x₂ ∈ X gilt d(x₁, x₂) ≥ 0 und
d(x₁, x₂) = 0 ⇔ x₁ = x₂.
(2) Symmetrie: Für alle x₁, x₂ ∈ X gilt d(x₁, x₂) = d(x₂, x₁)
(3) Dreiecksungleichung: Für alle x₁, x₂, x₃ ∈ X gilt
d(x₁, x₃) ≤ d(x₁, x₂) + d(x₂, x₃).
Was macht eine Metrik d auf einer Menge X und was besagt die Dreiecksungleichung der Metrik?
(informell umschrieben)
Sie weist je zwei Punkten ihre Distanz oder ihren Abstand zu. Die Dreiecksungleichung besagt folglich, dass der kürzeste Weg von x₁ nach x₃ höchstens so gross ist wie die Länge eines Weges, den man abläuft, wenn man zuerst den Umweg nach x₂ und von dort nach x₃ geht.
Wie ist die Standardmetrik definiert und wie unterscheidet sie sich von anderen Metriken wie z.B. der Manhattan-Metrik?
Die Standardmetrik in einer beliebigen Teilmenge von ℂ ist definiert als d(x₁, x₂) = |x₁ - x₂|, also der direkte Abstand zwischen zwei Punkten. Im Gegensatz dazu können Metriken auch “über Umwege” definiert sein, wie z.B. die Manhattan-Metrik: d(z₁, z₂) = |x₁ - x₂| + |y₁ - y₂|, da man in Manhattan nur “rasterartige” Bewegungen machen kann.
Sei X = {x₁, x₂} eine Teilmenge von ℂ und d(x₁, x₂) = 1. Welche Elemente enthalten die folgenden Bälle B(x, r) in ℂ und wie kommt man auf die Lösungen?
(1) B₁(x₁, 1/2)
(2) B₂(x₂, 1/10000)
(3) B₃(x₂, 7 * 10⁹)
(1) B₁(x₁, 1/2) = {x₁}
(2) B₂(x₂, 1/10000) = {x₂}
(3) B₃(x₂, 7 * 10⁹) = {x₁, x₂}
Da die Menge X nur aus zwei Elementen besteht mit Abstand 1, ist zwar bei r = 1/2 bzw. r < 1 immer ein Element enthalten, beide jedoch nur wenn r ≥ 1.
Was ist eine Folge und was ist das Bild einer Folge?
Eine Folge in einer Menge X ist eine Abbildung a: ℕ → X. Das Bild a(n) von n ∈ ℕ (auch (aₙ) geschrieben) ist das n-te Folgenglied von a.
Wann ist eine Folge (aₙ) konstant, wann schliesslich konstant?
Konstant, falls für alle m, n ∈ ℕ gilt: aₙ = aₘ;
Schliesslich konstant, falls ein N ∈ ℕ existiert mit aₙ = aₘ für alle m, n ∈ ℕ mit m, n ≥ N.
Wann ist eine Folge (xₙ) in X konvergent?
In einem metrischen Raum (X, d) ist eine Folge (xₙ) konvergent, falls es ein Element A ∈ X gibt mit der Eigenschaft, dass für jedes 𝜀 > 0 ein N ∈ ℕ existiert , so dass d(xₙ, A) < 𝜀 für alle n ≥ N gilt.
Wie ist der Limes einer Folge (xₙ) definiert?
Betrachte die Definition einer konvergenten Folge:
∀𝜀 > 0 ∃N ∈ ℕ so, dass ∀n ∈ ℕ: n ≥ N ⇒ d(xₙ, A) < 𝜀.
Das A bezeichnen wir auch als Grenzwert oder Limes der Folge (xₙ) und schreiben: lim(n → ∞) xₙ = A.
Wann ist eine Folge divergent?
Eine Folge (xₙ) ist divergent, falls sie nicht konvergiert.
Was lässt sich über die Anzahl Grenzwerte einer konvergente Folge (xₙ) in einem metrischen Raum (X, d) sagen?
(Lemma) Eine konvergente Folge (xₙ) in einem metrischen Raum (X, d) besitzt genau einen Grenzwert.
(Beweis s. Skript S. 121)
Wann ist eine Folge (xₙ) beschränkt?
Eine Folge (xₙ) in einem metrischen Raum (X, d) mit Grenzwert A ∈ X heisst beschränkt, falls es eine reelle Zahl R > 0 gibt, so dass d(xₙ - xₘ) ≤ R für alle n, m ∈ ℕ gilt.
Was ist eine Teilfolge einer Folge (xₙ)?
Eine Teilfolge einer Folge (xₙ) in einer Menge X ist jede Folge, die wir erhalten, in dem wir nur gewisse Folgenglieder auf der Folge (xₙ) behalten und alle anderen Folgenglieder ignorieren, formell definiert:
Sei (xₙ) eine Folge in einer Menge X. Eine Teilfolge von (xₙ) ist eine Folge der Form (xₕ₍ₙ₎), wobei h: ℕ → ℕ eine strikt monotone Funktion ist.
Was kann man über Kon-/Divergenz und Grenzwert von Teilfolgen aussagen?
Jede Teilfolge einer konvergenten Folge (xₙ) in einem metrischen Raum (X, d) konvergiert ebenso und gegen den gleichen Grenzwert wie (xₙ).
Was ist ein Häufungspunkt einer Folge und wann existiert er? Was ist der Häufungspunkt konvergenter Folgen?
Ein Häufungspunkt A ∈ X einer konvergenten Folge (xₙ) existiert, wenn es für jedes 𝜀 > 0 und jedes N ∈ ℕ eine natürliche Zahl n ≥ N existiert mit d(xₙ, A) < 𝜀.
Ausserdem ist A genau dann Häufungspunkt von (xₙ), wenn es eine konvergente Unterfolge von (xₙ) mit Grenzwert A gibt.
Wann ist eine Folge in einem metrischen Raum eine Cauchy-Folge?
Eine Folge (xₙ) in einem metrischen Raum (X, d) ist eine Cauchy-Folge, falls es für jedes 𝜀 > 0 ein N ∈ ℕ gibt, so dass d(xₘ - xₙ) < 𝜀 für alle m, n ≥ N gilt. Etwas intuitiver heisst das, dass für jedes 𝜀 > 0 eine Zahl N existiert, so dass zwei Folgewerte zweier Zahlen nach N immer einen Abstand kleiner 𝜀 haben. Die Folge ist also konvergent.
Wann ist ein metrischer Raum vollständig?
Man nennt einen metrischen Raum (X, d) vollständig, falls jede Cauchy-Folge in (X, d) konvergiert.
Wie kann man eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller Cauchy-Folgen in einem metrischen Raum (X, d) definieren?
Auf der Menge aller Cauchy-Folgen 𝒞ₓ in X ist eine Äquivalenzrelation definiert:
(xₙ) ~ (yₙ) ⇔ lim(n → ∞) d(xₙ, yₙ) = 0.
(Dies ist wiederum nichts anderes, als dass die Folge konvergieren, da wenn die Distanz zu 0 konvergiert auch die Folgen zueinander konvergieren.)
Wie kann man Stetigkeit mit Hilfe von Folgen definieren?
Eine Funktion f: D → ℝ ist genau dann stetig, wenn sie konvergente Folgen auf konvergente Folgen abbildet, mit dem richtigen Grenzwert (Folgenstetigkeit).
Sei D ⊆ ℝ eine Teilmenge, f: D → ℂ eine Funktion und x₀ ∈ D. Die Funktion f ist genau dann stetig bei x₀, wenn für jede konvergente Folge (yₙ) in D mit lim(n → ∞) yₙ = x₀ auch die Folge (f(yₙ)) konvergiert und gilt:
lim(n → ∞) f(yₙ) = f(x₀).
(Beweis s. Skript S. 128)
Was für eine algebraische Struktur weist die Menge aller Folgen ℝᴵᴺ auf und welche Eigenschaften gelten für Addition und Multiplikation auf ℝᴵᴺ? Was sind Null- und Einselement der Struktur (falls existent)?
Die Menge aller Folgen ℝᴵᴺ bildet einen unendlich dimensionalen Vektorraum über ℝ.
Folgen können addiert, skalar und “normal” multipliziert werden, und bilden mit eben genannten Eigenschaften einen kommutativen Ring:
(xₙ) + (yₙ) = (xₙ + yₙ),
𝛼 * (xₙ) = (𝛼xₙ),
(xₙ) * (yₙ) = (xₙyₙ)
Das Nullelement ist gegeben durch die konstante Folge (0) und das Einselement durch die konstante Folge (1).
Was für eine algebraische Struktur weist die Menge aller konvergenten Folgen in ℝᴵᴺ auf? Wie sind Addition, Multiplikation und Inverse definiert und was für eine Struktur ist die Bildung des Grenzwertes für diese Folgen?
Die Menge der konvergenten Folgen in ℝᴵᴺ bildet einen Unterraum und die Bildung des Grenzwertes ist eine lineare Abbildung von diesem Unterraum nach ℝ. Es gilt: lim(xₙ) + lim(yₙ) = lim(xₙ + yₙ), 𝛼 * lim(xₙ) = lim(𝛼xₙ), lim(xₙ) * lim(yₙ) = lim(xₙyₙ).
Weiter gilt, falls xₙ ≠ 0 und lim xₙ ≠ 0, für alle n ∈ ℕ: Die Folge (xₙ⁻¹) ist konvergent und lim(xₙ⁻¹) = (lim xₙ)⁻¹.
Was besagt das Sandwich-Lemma?
Es seien (xₙ), (yₙ), (zₙ) Folgen reeller Zahlen, so dass für ein N ∈ ℕ die Ungleichungen xₙ ≤ yₙ ≤ zₙ für alle n ≥ N gelten. Angenommen (xₙ) und (zₙ) sind konvergent und haben den selben Grenzwert, dann ist auch die Folge (yₙ) konvergent und es gilt: lim xₙ = lim yₙ = lim zₙ.
Was gilt für die Konvergenz einer monotonen Folge reeller Zahlen?
Eine monotone Folge reeller Zahlen (xₙ) konvergiert genau dann, wenn sie beschränkt ist. Falls die Folge (xₙ) monoton wachsend ist, so gilt :
lim(n → ∞) xₙ = sup {xₙ | n ∈ ℕ}.
Entsprechend gilt für monoton fallend:
lim(n → ∞) xₙ = inf {xₙ | n ∈ ℕ}.
Wie sind Limes superior resp. Limes inferior definiert?
Sei (xₙ) eine beschränkte Folge reeller Zahlen. Die reellen Zahlen definiert durch…
lim sup xₙ = lim (sup {xₙ | k ≥ n}) und
lim inf xₙ = lim (inf {xₙ | k ≥ n})
… heissen Limes superior resp. Limes inferior der Folge (xₙ).
Was für eine Eigenschaft erfüllt der Limes superior einer beschränkten Folge reeller Zahlen (xₙ) bezüglich der Folgeglieder der Folge?
Sei A = lim sup xₙ einer beschränkten Folge reeller Zahlen (xₙ), so gilt: Für alle 𝜀 > 0 gibt es nur endlich viele Folgeglieder xₙ mit xₙ > A + 𝜀, und unendlich viele Folgenglieder xₙ mit xₙ > A - 𝜀.
(Beweis s. Skript S. 134)
Was besitzt jede beschränkte Folgen reeller Zahlen?
Einen Häufungspunkt und reelle Teilfolgen.
Beweis s. Skript S. 134
Was muss für den Limes superior und den Limes inferior (falls existent) einer beschränkten Folge reeller Zahlen gelten, damit die Folge konvergiert?
Eine beschränkte Folge reeller Zahlen konvergiert genau dann, wenn:
lim sup xₙ = lim inf xₙ.
(Beweis s. Skript S. 135)
Was versteht man unter dem “Cauchy-Kriterium für Konvergenz von Folgen”?
Dass eine Folge reeller Zahlen genau dann konvergiert, wenn sie eine Cauchy-Folge ist.
Was sind uneigentliche Grenzwerte für Folgen (xₙ)?
Die uneigentlichen Grenzwerte für Folgen (xₙ) sind +∞ und -∞.
Eine Folge reeller Zahlen (xₙ) divergiert gegen +∞ - wir schreiben lim xₙ = +∞ - falls für jede reelle Zahl R > 0 ein N ∈ ℕ existiert, so dass xₙ > R für alle n ≥ N gilt.
Analog divergiert (xₙ) gegen -∞, falls für alle R < 0 ein N ∈ ℕ existiert, so dass xₙ < R für alle n ≥ N gilt.
