Axiome der reellen Zahlen: Beweise Flashcards
Zusätzlich die aus den Axiomen folgenden Eigenschaften beweisen können.
Sei (K, ≤) ein angeordneter Körper. Beweise:
1a) Es gilt entweder x < y, x = y oder x > y. (Trichotomie
Dies folgt direkt aus der Linearität von Ordnungsrelationen.
Sei (K, ≤) ein angeordneter Körper. Beweise:
(1b) Falls x < y und y ≤ z, dann gilt auch x < z.
Nach der Transitivität der Ordnungsrelation haben wir x ≤ z und falls x = z wäre, wäre y ≤ x und daher x = y nach der Antisymmetrie und der Voraussetzung x ≤ y, was aber der Annahme widerspricht.
Sei (K, ≤) ein angeordneter Körper. Beweise:
(1c) Gilt x ≤ z und y ≤ w, dann gilt auch x + z ≤ y + w.
Was könnte man hier noch analog beweisen?
x ≤ y impliziert x + z ≤ y + z und z ≤ w impliziert y + z ≤ y + w (additive Kompatibilität). Diese Aussagen implizieren x + z ≤ y + w. (Transitivität der Ordnungsrelation).
Analog: x < y und z ≤ w ⇒ x + z < y + w.
Sei (K, ≤) ein angeordneter Körper. Beweise:
(1d) Es gilt x ≤ y genau dann, wenn 0 ≤ y - x gilt.
und
(1e) Es gilt x ≤ 0 ⇔ 0 ≤ - x.
Folgt aus der additiven Kompatibilität durch Subtraktion resp. Addition von x. Somit ist (1d) “bewiesen”. Sei y = 0, ist auch (1e) “bewiesen”.
Sei (K, ≤) ein angeordneter Körper. Beweise:
(1f) Es gilt x² ≥ 0 und x² > 0, falls x ≠ 0.
und
(1g) Es gilt 0 < 1.
Falls x ≥ 0, so folgt die Aussage aus der multiplikativen Kompatibilität. Falls x ≤ 0, ist nach (1e) -x ≥ 0 und somit x² = (-x)² ≥ 0. Falls x² = 0, dann gilt x = 0.
Daraus folgt: 1 = 1² ≥ 0 und 1 ≠ 0.
Sei (K, ≤) ein angeordneter Körper. Beweise:
(1h) Falls 0 ≤ x und y ≤ z, dann gilt xy ≤ xz.
Nach (1d) ist z - y ≥ 0, und nach der multiplikativen Kompatibilität gilt xz - xy = x(z - y) ≥ 0 und damit folgt die Aussage wiederum aus (1d).
Sei (K, ≤) ein angeordneter Körper. Beweise:
(1i) Falls x ≤ 0 und y ≤ z, dann gilt xy ≥ xz.
Nach (e) ist -x ≥ 0, z - y ≥ 0 nach (1d) und somit nach der multiplikativen Kompatibilität:
xy - xz = x(y - z) = (-x)(-(y - z)) = (-x)(z-y) ≥ 0.
Sei (K, ≤) ein angeordneter Körper. Beweise:
(1j) Aus 0 < x ≤ y folgt 0 < y⁻¹ ≤ x⁻¹.
Widerspruchsbeweis:
Wir nehmen an, dass x⁻¹ > 0. Falls nicht, wäre wegen x⁻¹ ≠ 0 und der Trichotomie x⁻¹ < 0. Demnach würde 1 = xx⁻¹ < 0 nach (1h) gelten, was (1g) widerspricht. Insbesondere ist x⁻¹y⁻¹ > 0 und es gilt: y⁻¹ = xx⁻¹y⁻¹ ≤ yx⁻¹y⁻¹ = x⁻¹.
Sei (K, ≤) ein angeordneter Körper. Beweise:
(2b) Es gilt |x| ≥ 0 und |x| = 0 genau dann wenn x = 0.
Folgt aus der Trichotomie-Eigenschaft (1a).
Sei (K, ≤) ein angeordneter Körper. Beweise:
(2c) Es gilt sgn(xy) = sgn(x)*sgn(y) und |xy| = |x||y|.
und
(2d) Ist x ≠ 0, so gilt |x⁻¹| = |x|⁻¹.
(2c) beweist man mit einer Fallunterscheidung für x, y negativ und positiv (4 Fälle).
(2d) folgt aus (2c) wegen |x⁻¹| * |x| = 1.
Sei (K, ≤) ein angeordneter Körper. Beweise:
(2e) |x| ≤ y ⇔ -y ≤ x ≤ y.
und
(2f) |x| < y ⇔ -y < x < y.
Angenommen |x| ≤ y. Falls x ≥ 0, dann gilt -y ≤ 0 ≤ x = |x| ≤ y. Falls x < 0, dann ist -y ≤ -|x| = x < 0 ≤ y und damit -y ≤ x ≤ y. Für die Umkehrung bemerken wir, dass -y ≤ x ≤ y auch -y ≤ -x ≤ y und somit in jedem Fall |x| ≤ y impliziert. (2f) zeigt man gleich wie (2e).
Sei (K, ≤) ein angeordneter Körper. Beweise:
(2g) |x + y| ≤ |x| + |y|.
Wie nennt man diese Aussage auch noch?
Dreiecksungleichung:
Sie folgt, in dem wir -|x| ≤ x ≤ |x| und -|y| ≤ y ≤ |y| wie in (e) addieren und anschliessend wiederum (e) auf -(|x| + |y|) ≤ x + y ≤ |x| + |y| anwenden.
Sei (K, ≤) ein angeordneter Körper. Beweise:
(2h) ||x| - |y|| ≤ |x - y|.
Wie nennt man diese Aussage auch noch?
Umgekehrte Dreiecksungleichung:
Durch die Dreiecksungleichung erhalten wir |x| - |y| ≤ |x - y|. Durch Vertauschen von x, y erhalten wir |y| - |x| ≤ |x - y|. Also ist nach (e): ||x| - |y|| ≤ |x - y|, wie gewünscht.
