Komplexe Zahlen Flashcards
Den Aufbau und Umgang mit komplexen Zahlen verstehen.
Definiere die Menge und die Elemente der komplexen Zahlen.
Die Menge ℂ = ℝ² = {(x, y) | x, y ∈ ℝ} besitzt die Elemente z = x + yi = (x, y) ∈ ℂ.
Was sind Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl z?
Wie bedeutet “reell” und “rein imaginär”?
Für (x, y) ∈ ℂ und x, y ∈ ℝ, ist der Realteil von z, Re(z) = x und der Imaginärteil von z, Im(z) = y.
Die Elemente mit Re(z) = 0 sind rein imaginär, die Elemente mit Im(z) = 0 sind reell.
Was ergibt die Multiplikation zweier komplexer Zahlen z₁ und z₂?
z₁ * z₂ = (x₁ + y₁i) * (x₂ + y₂i) = x₁x₂ + x₁y₂i + y₁x₂i + y₁y₂i² = (x₁x₂ - y₁y₂) + i(x₁y₂ + y₁x₂)
Wie ist die Addition der Real- und Imaginärteile von komplexen Zahlen definiert, d.h. was ergibt:
(x₁, y₁) + (x₂, y₂)?
(x₁, y₁) + (x₂, y₂) = (x₁ + x₂ , y₁ +y₂)
Wie ist die Multiplikation der Real- und Imaginärteile von komplexen Zahlen definiert, d.h. was ergibt:
(x₁, y₁) * (x₂, y₂)?
(x₁, y₁) * (x₂, y₂) = ((x₁x₂ - y₁y₂), (x₁y₂ + x₂y₁))
Für einen Körper der komplexen Zahlen ℂ, was sind (zusammen mit Addition und Multiplikation) das Nullelement, das Einselement und die inversen Elemente der beiden Operationen?
Nullelement: (0, 0)
Einselement: (1, 0)
Inverse der Addition: -(x, y) = (-x, -y)
Inverse der Multiplikation: (x / (x² + y²), -y / (x² + y²))
Warum kann man ℝ als Teilmenge von ℂ auffassen?
Da Addition und Multiplikation auf ℂ eingeschränkt auf ℝ mit der Addition und Multiplikation auf ℝ übereinstimmen.
Was ist eine komplexe Konjugation und welche Eigenschaften erfüllt sie?
Sei z = x + yi eine komplexe Zahl, so nennen wir z¯ = x - yi die zu z konjugierte komplexe Zahl. Sie erfüllt die Eigenschaften:
(1) Für alle z ∈ ℂ ist zz¯ ∈ ℝ und zz¯ ≥ 0. Des Weiteren gilt für alle z ∈ ℂ, dass zz¯ = 0 genau dann, wenn z = 0.
(2) Für alle z, w ∈ ℂ gilt (z + w)¯ = z¯ + w¯.
(3) Für alle z, w ∈ ℂ gilt (z + w)¯ = z¯ * w¯.
(Beweise s. Skript S. 53)
Wie ist der Absolutbetrag bzw. die Norm auf ℂ definiert?
Der Absolutbetrag bzw. die Norm auf ℂ ist die Funktion
|•|: ℂ → ℝ gegeben durch:
|z| = √(zz¯) = √(x² + y²) für z = x + yi ∈ ℂ.
Warum ist der Absolutbetrag eines x ∈ ℂ gleich dem Absolutbetrag eines x ∈ ℝ?
Da |x| = √(xx¯) = √x² = |x|.
Warum ist der Absolutbetrag zweier komplexen Zahlen z, w ∈ ℂ multiplikativ? Beweise.
|zw| = √(zwz¯w¯) = √(zz¯ww¯) = √(zz¯)√(ww¯) = |z||w|.
Wie lautet die Cauchy-Schwarz-Ungleichung und welche Aussage über angeordnete Körper (der reellen Zahlen) kann man damit beweisen?
(x₁x₂ + y₁y₂)² ≤ (x₁x₂ + y₁y₂)² + (y₁x₂ - x₁y₂)².
Daraus ableiten kann man die Dreiecksungleichung.
(Beweis s. Skript S. 55)
Wie ist eine Distanz von z nach w definiert für z, w ∈ ℂ?
|z - w|
Was sind Kreisscheiben? Wann sind sie offen und wann abgeschlossen? Was ist die Analogie in den reellen Zahlen ℝ?
Die Kreisscheibe B in ℂ ist das Pendant zum Intervall in ℝ und ist mit Radius r > 0 um einen Punkt z ∈ ℂ definiert als die Menge:
B(z, r) = {w ∈ ℂ | |z - w| < r} (offen)
(B(z, r))¯ = {w ∈ ℂ |z - w| ≤ r} (abgeschlossen)
Wie ist eine offene Kreisscheibe B(x, r) ∈ ℂ mit einem Intervall in ℝ kompatibel?
Tipp: Betrachte die Schnittmenge.
Ist x ∈ ℝ und r > 0, so ist der Schnitt von B(x, r) ⊆ ℂ mit ℝ das offene, symmetrisch um x liegende Intervall
(x - r, x + r).
