Reellwertige Funktionen Flashcards
Was ist eine reellwertige Funktion?
Jede Funktion mit Wertebereich ℝ.
Sei D eine beliebige, nicht-leere Menge und 𝓕(D) = ℝᴰ = {f | f : D → ℝ} die Menge der reellwertigen Funktionen auf D. Warum ist 𝓕(D) ein kommutativer Ring?
𝓕(D) bildet ein Vektorraum über ℝ, wobei Addition und skalare Multiplikation gegeben sind durch (f₁ + f₂)(x) = f₁(x) + f₂(x) und (c * f₁)(x) = c * f₁(x) und die Multiplikation zweier Funktionen durch (f₁ * f₂)(x) = f₁(x) * f₂(x), für alle f₁, f₂ ∈ 𝓕(D). Mit diesen Operationen bildet die Menge 𝓕(D) einen kommutativen Ring.
Was ist eine Nullstelle und was ist eine Nullstellenmenge?
Ein x ∈ D ist eine Nullstelle von f ∈ 𝓕(D), falls f(x) = 0. Die Nullstellenmenge von f ist definiert als {x ∈ D | f(x) = 0}.
Wie ist eine Ordnungsrelation auf 𝓕(D) zwischen zwei Funktionen f₁, f₂ ∈ 𝓕(D) definiert?
f₁ ≤ f₂ ⇔ ∀x ∈ D: f₁(x) ≤ f₂(x)
Wann ist eine Funktion f von oben / von unten beschränkt?
Wir sagen eine Funktion f sei von oben beschränkt, falls die Wertemenge f(D) von oben beschränkt ist, also wenn es eine Zahl R ∈ ℝ gibt, mit der Eigenschaft, dass f(x) ≤ R ∀x ∈ D.
Analog für unten beschränkt.
Wir sagen, eine Funktion sei beschränkt, wenn sie von oben und unten beschränkt ist, wenn also:
|f(x)| ≤ R ∀x ∈ D.
Wie sind komplexwertige Funktionen auf D definiert?
Wie ihre Nullstellen? Wann sind sie beschränkt?
Analog zum reellen Vektorraum 𝓕(D) können wir auch den komplexen Vektorraum 𝓚(D) = {f | f: D → ℂ} definieren. Eine Funktion f ∈ 𝓚(D) ist beschränkt, falls die reellwertige Funktion x ↦ |f(x)| auf D beschränkt ist. Ein Punkt x ∈ D ist eine Nullstelle einer Funktion f ∈ 𝓚(D), falls f(x) = 0.
Sei D eine Teilmenge von ℝ. Definiere für eine Funktion f: D → ℝ folgende Begriffe: (1) monoton wachsend (2) streng monoton wachsend (3) monton fallend (4) streng monoton fallend (5) monoton (6) streng monoton Gib ein Beispiel für eine nicht monotone Funktion.
(1) falls ∀x, y ∈ D: x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f(y)
(2) falls ∀x, y ∈ D: x < y ⇒ f(x) < f(y)
(3) falls ∀x, y ∈ D: x ≤ y ⇒ f(x) ≥ f(y)
(4) falls ∀x, y ∈ D: x < y ⇒ f(x) > f(y)
(5) falls monoton wachsend oder fallend
(6) falls streng monoton wachsend oder fallend
Die Sinus- bzw. Cosinusfunktion ist nicht monoton, da zwischen steigend und fallend die ganze Zeit gewechselt wird.
Wann ist eine Funktion f: D → ℝ bei einem Punkt x₀ ∈ D stetig? Wann ist sie stetig auf ganz D?
Die Funktion f ist stetig bei x₀ ∈ D, falls es für alle 𝜀 > 0 ein 𝛿 > 0 gibt, so dass für alle x ∈ D die Implikation gilt:
|x - x₀| < 𝛿 ⇒ |f(x) - f(x₀)| < 𝜀.
Die Funktion f ist stetig auf ganz D, falls sie bei jedem Punkt von D stetig ist, d.h.:
∀x₀ ∈ D: ∀𝜀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∀x ∈ D: |x - x₀| < 𝛿 ⇒ |f(x) - f(x₀)| < 𝜀.
Sind die folgenden Funktionen f: ℝ → ℝ stetig oder nicht? Begründe.
(a) f(x) = ax + b
(b) f(x) = ⌊x⌋
(a) Für a = 0 ist die Funktion konstant und somit stetig. Für a ≠ 0, x₀ ∈ ℝ und 𝜀 > 0, dann gilt |f(x) - f(x₀)| = |a||x - x₀| für alle x ∈ ℝ. Wählt man 𝛿 = 𝜀 / |a| und ein x ∈ ℝ mit |x - x₀| < 𝛿, so ist |f(x) - f(x₀)| = |a||x - x₀| < |a|𝛿 = 𝜀.
(b) Die Funktion ist bei Punkten in ℤ nicht stetig. Ist n ∈ ℤ, dann gilt für jedes 𝛿 > 0, dass |(n - 𝛿/2) - n| < 𝛿 und
|⌊n - 𝛿/2⌋ - ⌊n⌋| = ⌊n⌋ - ⌊n - 𝛿/2⌋ ≥ n - (n - 1) = 1.
Damit ist die Stetigkeitsbedingung bei n ∈ ℤ für 𝜀 < 1 nicht erfüllt.
Sei D ⊆ ℝ und seien f₁, f₂ : D → ℝ Funktionen, die bei einem Punkt x₀ ∈ D stetig sind. Was lässt sich über Addition, Multiplikation, skalare Multiplikation und Verknüpfung von f₁, f₂ aussagen?
Was lässt sich über die Menge der stetigen Funktionen aussagen?
Wenn f₁, f₂ an einem Punkt x₀ ∈ D stetig sind, so sind auch (f₁ + f₂), (f₁ * f₂), (a* f₁) und (a* f₂) sowie f₂ ∘ f₁ an diesem Punkt stetig (für a ∈ ℝ).
Die Menge der stetigen Funktionen 𝓒(D) = {f ∈ 𝓕(D) | f ist stetig} bildet ein Untervektorraum des Vektorraums 𝓕(D).
Seien D₁, D₂ ⊆ ℝ und x₀ ∈ D₁. Sei f: D₁ → D₂ eine bei x₀ stetige Funktion und sei g: D₂ → ℝ eine bei f(x₀) stetige Funktion.
Zeige, dass g ∘ f: D₁ → ℝ bei x₀ stetig ist, oder i. A., dass die Verknüpfung von stetigen Funktionen wieder stetig ist.
Sei 𝜀 > 0. Dann existiert aufgrund der Stetigkeit von g bei f(x₀) ein η <0, so dass für alle x ∈ D₁ gilt:
|x - x₀| < 𝛿 ⇒ |f(x) - f(x₀)| < η. Zusammen ergibt sich somit, dass für alle x ∈ D₁ gilt:
|x - x₀| < 𝛿 ⇒ |f(x) - f(x₀)| < η ⇒ |g(f(x)) - g(f(x₀))| < 𝜀. Dies beweist, dass g ∘ f an der Stelle x₀ stetig ist.
Was für eine Idee formalisiert der Zwischenwertsatz und wie lautet die formale Definition?
Der Zwischenwertsatz besagt, dass der Graph einer stetigen Funktion auf einem Intervall eine durchgehende Kurve darstellt und keine Sprünge macht. Formell bedeutet dies:
Sei D ⊆ ℝ, f: D → ℝ eine stetige Funktion und [a, b] ein in D enthaltenes Intervall. Für jede reelle Zahl c ∈ ℝ mit f(a) ≤ c ≤ f(b) existiert ein x ∈ [a, b], so dass f(x) = c gilt.
(Beweis s. Skript S. 92)
Was ist nach dem Satz von Heine-Bonel äquivalent zur Aussage “Eine Teilmenge X ⊆ ℝ ist kompakt”?
Eine Teilmenge X ⊆ ℝ ist kompakt. ⇔ X ist abgeschlossen und beschränkt, sprich:
Eine Teilmenge X ⊆ ℝ heisst kompakt, falls jede stetige Funktion auf X beschränkt ist.
Seien a, b ∈ ℝ und a < b. Was kann man über die Funktion f: [a, b] → ℝ aussagen? Welche zwei Eigenschaften gelten für diese Funktion.
Falls f eine stetige Funktion ist, so ist f auch beschränkt, d.h. es existiert ein M ∈ ℝ mit |f(x)| ≤ M für alle x ∈ [a, b].
Ausserdem nimmt die Funktion sowohl ihr Maximum als auch ihr Minimum an
(Beweis s. Skript S. 97f.)
Sei D ⊆ ℝ eine Teilmenge. Wann ist eine Funktion f: D → ℝ gleichmässig stetig? Wie unterscheidet sich die Funktion von einer “normal” stetigen Funktion?
Eine Funktion f: D → ℝ heisst gleichmässig stetig, wenn für alle 𝜀 > 0 ein 𝛿 > 0 existiert, sodass |x - y| < 𝛿 ⇒ |f(x) - f(y)| < 𝜀.
Der Unterschied zur “normalen” Stetigkeit liegt darin, dass man bei einer nur stetigen Funktion den 𝜀-Bereich genügend klein wählen kann und immer noch einen 𝛿-Bereich findet, in dem ein Teil der Funktion liegt. Bei einer gleichmässigen Stetigkeit muss aber für alle 𝜀 > 0 ein 𝛿 > 0 existieren, dass die Bedingungen erfüllt. Dies scheitert z.B. bei der Quadratfunktion, da die Funktion “unendlich steil” wird.
