Maxima, Suprema und Vollständigkeit Flashcards
Wann ist eine Teilmenge X ⊆ ℝ von oben beschränkt und wann von unten beschränkt?
Eine Teilmenge X ⊆ ℝ ist von oben beschränkt, falls eine obere Schranke s ∈ ℝ existiert mit x ≤ s für alle x ∈ X.
Analog dazu ist die Teilmenge X von unten beschränkt, falls eine untere Schranke r ∈ ℝ existiert mit r ≤ x für alle x ∈ X.
Was ist ein Maximum einer Teilmenge X ⊆ ℝ und was ein Minimum?
Ein Element x₁ ∈ X einer Teilmenge X ⊆ ℝ heisst Maximum, falls für alle x ∈ X die Ungleichung x ≤ x₁ gilt. Wir notieren x₁ = max(X).
Falls ein x₀ ∈ X mit x₀ ≤ x für alle x ∈ X existiert, nennen wir dies Minimum und notieren x₀ = min(X).
Warum ist ein Maximum einer Teilmenge X ⊆ ℝ - falls es existiert - eindeutig bestimmt?
Falls es mehrere Maxima gäbe, so müsste x₁ ≤ x₂, weil x₂ ein Maximum ist, und x₂ ≤ x₁, wel x₁ ein Maximum ist, somit folgt x₁ = x₂.
Was ist ein Supremum einer Teilmenge X ⊆ ℝ und was ein Infimum?
Falls ein Minimum a₀ = min(A) einer Teilmenge A := {a ∈ ℝ | x ≤ a ∀x ∈ X} existiert, nennen wir es das Supremum und notieren sup(X). Es ist also die kleinste obere Schranke von X. Analog dazu ist das Infimum inf(X) die grösste untere Schranke und es gilt:
inf(X) = -sup{-x | x ∈ X}
Sei X ⊂ ℝ. Was ist das Supremum von X, falls (a) X nicht von oben beschränkt ist? (b) X = ∅? und was ist das Infimum, falls (c) X nicht von unten beschränkt ist? (d) X = ∅? Wie nennt man diese Ausdrücke?
Wir definieren: (a) sup(X) = +∞. (b) sup(∅) = -∞. (c) inf(X) = -∞. (d) inf(∅) = +∞. In diesem Zusammenhang werden ∞ und -∞ uneigentliche Werte genannt.
Was ist die Kernaussage des Archimedischen Prizips?
Dass für jedes x ∈ ℝ genau ein z ∈ ℤ existiert mit n ≤ x < n + 1, es also für jede reelle Zahl x eine ganze Zahl n gibt, die grösser als X ist.
(Beweis s. Skript S. 62)
Wie kann man mit dem Archimedischen Prinzip das folgende Korollar beweisen?
(3.63) “Für jedes ε > 0 existiert ein n ∈ ℤ mit n ≥ 1, so dass (1 / n) < ε gilt.”
Aufgrund vom Archimedischen Prinzip wissen wir, dass ein n ∈ ℤ mit n ≥ 1 existiert und n > ε - 1. Für so ein n ∈ ℤ gilt dann auch (1 / n) < ε.
Was ist der ganzzahlige Anteil und der gebrochene Anteil einer Zahl x ∈ ℝ? Wie nennt man die Funktion von x zum ganzzahligen Anteil von x?
Der ganzzahlige Anteil ⌊x⌋ einer Zahl x ∈ ℝ ist die eindeutig bestimmte Zahl z ∈ ℤ mit n ≤ x < n + 1. Die durch x ⟼ ⌊x⌋ gegebene Funktion von ℝ nach ℤ heisst Abdrundungsfunktion. Der gebrochene Anteil einer Zahl x ist {x} = x - ⌊x⌋ ∈ [0, 1).
Wann ist eine Teilmenge X ⊂ ℝ dicht in ℝ?
Warum kann man sagen, ℚ sei dicht in ℝ?
X ⊂ ℝ ist dicht in ℝ, falls jedes offene, nicht leere Intervall von ℝ ein Element von X enthält.
Da nach dem Archimedischen Prinzip folgt, dass für alle a, b ∈ ℝ ein q ∈ ℚ existiert mit a < q < b. Somit schneidet ℚ jedes offene, nicht leere Intervall I in ℝ, so dass
I ∩ ℚ ≠ ∅.
(Beweis s. Skript S. 63)
Sei c ∈ ℝ eine reelle Zahl mit Dezimalbruchentwicklung a₀, a₁a₂a₃… . Wie wird c definiert und wie kann man es bestimmen?
c ist das eindeutige Element eines Dezimalbruchs, einer Folge ganzen Zahlen a₀, a₁, a₂,… mit 0 ≤ aₙ ≤ 9 für alle n ≥ 1. Wir definieren:
xₙ = Σⁿₖ₌₀ (aₖ * 10⁻ᵏ) und
yₙ = 10⁻ⁿ + Σⁿₖ₌₀ (aₖ * 10⁻ᵏ).
Laut dem Vollständigkeitsaxiom existiert ein c ∈ ℝ mit xₙ ≤ c ≤ yₙ. Nach dem Archimedischen Prinzip existiert nur eine reelle Zahl c, die diese Ungleichung erfüllt.
Alternativ könnte man definieren:
c = sup{xₙ | n ≥ 0} oder
c = inf{yₙ, n ≥ 0}.
Warum kann jedes beliebige Element von ℝ als Dezimalbruch geschrieben werden?
Sei c ∈ ℝ und c ≥ 0. Dann können wir a₀ = ⌊c⌋ definieren und aₙ := ⌊10ⁿc⌋ - 10⌊10ⁿ⁻¹c⌋ definieren. Die Folge a₀, a₁, a₂,… mit 0 ≤ aₙ ≤ 9 für alle n ≥ 1 ist in der Tat ein Dezimalbruch. Daraus folgt, dass c die reelle Zahl mit Dezimalbruchentwicklung a₀, a₁a₂a₃… ist. Für c ≤ 0 ändert man das Vorzeichen von a₀ in der Dezimalbruchentwicklung von -c.
Wie wird ein echter Dezimalbruch definiert? Was unterscheidet ihn von anderen Dezimalbrüchen?
Ein echter Dezimalbruch ist jede Folge ganzer Zahlen a₀, a₁, a₂,… mit 0 ≤ aₙ ≤ 9 für alle n ≥ 1 mit der Eigenschaft, dass für jedes n₀ ≥ 1 ein n ≥ n₀ mit aₙ ≠ 9 existiert.
Ein echter Dezimalbruch endet also nie in der konstanten Folge …9999…, wie z.B. 3,364399999… .
Beweise, dass die Menge der reellen Zahlen ℝ nicht abzählbar ist.
Nach Cantors Diagonalargument wissen wir, dass 𝒫(ℕ) strikt mächtiger als ℕ ist. Wir brauchen also eine Injektion Φ: 𝒫(ℕ) → ℝ. Diese konstruieren wir, indem wir von jeder Teilmenge a eine Zahl Φ(a) zurodnen, deren Dezimalbruchentwicklung a₀, a₁a₂a₃… durch gegeben ist durch aₙ = 𝟙ₐ(n).
Seien also A und B verschiedene Teilmengen von ℕ, so ist A Δ B nicht leer. Sei n das kleinste Element von A Δ B, so gilt:
n ∈ A und n ∉ B ⇒ Φ(a) > Φ(b), und
n ∉ A und n ∈ B ⇒ Φ(b) > Φ(a), und somit
Φ(a) ≠ Φ(b) in jedem Fall.
Sei A ⊂ ℝ und x ∈ ℝ. Wann ist x ein Häufungspunkt der Menge A?
x ist ein Häufungspunkt der Menge A, falls es für jedes ε > 0 ein ein a ∈ A gibt mit a < |a - x| < ε.
x ist also ein Punkt, in dessen Umgebung beliebig viele Elemente in A existieren, die verschieden von x sind. Dabei spielt es keine Rolle, ob x in A liegt oder nicht.
Sei 𝒜 eine Familie von Teimengen von ℝ. Was muss für die Familie 𝒜 und die Teilmengen A₁ und A₂ gelten, damit der Durchschnitt ∩(A ∈ 𝒜)A nicht leer ist?
Alle A ∈ 𝒜 müssen beschränkt und abgeschlossen sein, die Familie 𝒜 darf nicht leer sein. Weiterhin muss gelten:
(1) ∅ ∉ 𝒜
(2) (A₁ ∈ 𝒜) und (A₂ ∈ 𝒜) ⇒ A₁ ∩ A₂ ∈ 𝒜
