Maxima, Suprema und Vollständigkeit Flashcards
Wann ist eine Teilmenge X ⊆ ℝ von oben beschränkt und wann von unten beschränkt?
Eine Teilmenge X ⊆ ℝ ist von oben beschränkt, falls eine obere Schranke s ∈ ℝ existiert mit x ≤ s für alle x ∈ X.
Analog dazu ist die Teilmenge X von unten beschränkt, falls eine untere Schranke r ∈ ℝ existiert mit r ≤ x für alle x ∈ X.
Was ist ein Maximum einer Teilmenge X ⊆ ℝ und was ein Minimum?
Ein Element x₁ ∈ X einer Teilmenge X ⊆ ℝ heisst Maximum, falls für alle x ∈ X die Ungleichung x ≤ x₁ gilt. Wir notieren x₁ = max(X).
Falls ein x₀ ∈ X mit x₀ ≤ x für alle x ∈ X existiert, nennen wir dies Minimum und notieren x₀ = min(X).
Warum ist ein Maximum einer Teilmenge X ⊆ ℝ - falls es existiert - eindeutig bestimmt?
Falls es mehrere Maxima gäbe, so müsste x₁ ≤ x₂, weil x₂ ein Maximum ist, und x₂ ≤ x₁, wel x₁ ein Maximum ist, somit folgt x₁ = x₂.
Was ist ein Supremum einer Teilmenge X ⊆ ℝ und was ein Infimum?
Falls ein Minimum a₀ = min(A) einer Teilmenge A := {a ∈ ℝ | x ≤ a ∀x ∈ X} existiert, nennen wir es das Supremum und notieren sup(X). Es ist also die kleinste obere Schranke von X. Analog dazu ist das Infimum inf(X) die grösste untere Schranke und es gilt:
inf(X) = -sup{-x | x ∈ X}
Sei X ⊂ ℝ. Was ist das Supremum von X, falls (a) X nicht von oben beschränkt ist? (b) X = ∅? und was ist das Infimum, falls (c) X nicht von unten beschränkt ist? (d) X = ∅? Wie nennt man diese Ausdrücke?
Wir definieren: (a) sup(X) = +∞. (b) sup(∅) = -∞. (c) inf(X) = -∞. (d) inf(∅) = +∞. In diesem Zusammenhang werden ∞ und -∞ uneigentliche Werte genannt.
Was ist die Kernaussage des Archimedischen Prizips?
Dass für jedes x ∈ ℝ genau ein z ∈ ℤ existiert mit n ≤ x < n + 1, es also für jede reelle Zahl x eine ganze Zahl n gibt, die grösser als X ist.
(Beweis s. Skript S. 62)
Wie kann man mit dem Archimedischen Prinzip das folgende Korollar beweisen?
(3.63) “Für jedes ε > 0 existiert ein n ∈ ℤ mit n ≥ 1, so dass (1 / n) < ε gilt.”
Aufgrund vom Archimedischen Prinzip wissen wir, dass ein n ∈ ℤ mit n ≥ 1 existiert und n > ε - 1. Für so ein n ∈ ℤ gilt dann auch (1 / n) < ε.
Was ist der ganzzahlige Anteil und der gebrochene Anteil einer Zahl x ∈ ℝ? Wie nennt man die Funktion von x zum ganzzahligen Anteil von x?
Der ganzzahlige Anteil ⌊x⌋ einer Zahl x ∈ ℝ ist die eindeutig bestimmte Zahl z ∈ ℤ mit n ≤ x < n + 1. Die durch x ⟼ ⌊x⌋ gegebene Funktion von ℝ nach ℤ heisst Abdrundungsfunktion. Der gebrochene Anteil einer Zahl x ist {x} = x - ⌊x⌋ ∈ [0, 1).
Wann ist eine Teilmenge X ⊂ ℝ dicht in ℝ?
Warum kann man sagen, ℚ sei dicht in ℝ?
X ⊂ ℝ ist dicht in ℝ, falls jedes offene, nicht leere Intervall von ℝ ein Element von X enthält.
Da nach dem Archimedischen Prinzip folgt, dass für alle a, b ∈ ℝ ein q ∈ ℚ existiert mit a < q < b. Somit schneidet ℚ jedes offene, nicht leere Intervall I in ℝ, so dass
I ∩ ℚ ≠ ∅.
(Beweis s. Skript S. 63)
Sei c ∈ ℝ eine reelle Zahl mit Dezimalbruchentwicklung a₀, a₁a₂a₃… . Wie wird c definiert und wie kann man es bestimmen?
c ist das eindeutige Element eines Dezimalbruchs, einer Folge ganzen Zahlen a₀, a₁, a₂,… mit 0 ≤ aₙ ≤ 9 für alle n ≥ 1. Wir definieren:
xₙ = Σⁿₖ₌₀ (aₖ * 10⁻ᵏ) und
yₙ = 10⁻ⁿ + Σⁿₖ₌₀ (aₖ * 10⁻ᵏ).
Laut dem Vollständigkeitsaxiom existiert ein c ∈ ℝ mit xₙ ≤ c ≤ yₙ. Nach dem Archimedischen Prinzip existiert nur eine reelle Zahl c, die diese Ungleichung erfüllt.
Alternativ könnte man definieren:
c = sup{xₙ | n ≥ 0} oder
c = inf{yₙ, n ≥ 0}.
Warum kann jedes beliebige Element von ℝ als Dezimalbruch geschrieben werden?
Sei c ∈ ℝ und c ≥ 0. Dann können wir a₀ = ⌊c⌋ definieren und aₙ := ⌊10ⁿc⌋ - 10⌊10ⁿ⁻¹c⌋ definieren. Die Folge a₀, a₁, a₂,… mit 0 ≤ aₙ ≤ 9 für alle n ≥ 1 ist in der Tat ein Dezimalbruch. Daraus folgt, dass c die reelle Zahl mit Dezimalbruchentwicklung a₀, a₁a₂a₃… ist. Für c ≤ 0 ändert man das Vorzeichen von a₀ in der Dezimalbruchentwicklung von -c.
Wie wird ein echter Dezimalbruch definiert? Was unterscheidet ihn von anderen Dezimalbrüchen?
Ein echter Dezimalbruch ist jede Folge ganzer Zahlen a₀, a₁, a₂,… mit 0 ≤ aₙ ≤ 9 für alle n ≥ 1 mit der Eigenschaft, dass für jedes n₀ ≥ 1 ein n ≥ n₀ mit aₙ ≠ 9 existiert.
Ein echter Dezimalbruch endet also nie in der konstanten Folge …9999…, wie z.B. 3,364399999… .
Beweise, dass die Menge der reellen Zahlen ℝ nicht abzählbar ist.
Nach Cantors Diagonalargument wissen wir, dass 𝒫(ℕ) strikt mächtiger als ℕ ist. Wir brauchen also eine Injektion Φ: 𝒫(ℕ) → ℝ. Diese konstruieren wir, indem wir von jeder Teilmenge a eine Zahl Φ(a) zurodnen, deren Dezimalbruchentwicklung a₀, a₁a₂a₃… durch gegeben ist durch aₙ = 𝟙ₐ(n).
Seien also A und B verschiedene Teilmengen von ℕ, so ist A Δ B nicht leer. Sei n das kleinste Element von A Δ B, so gilt:
n ∈ A und n ∉ B ⇒ Φ(a) > Φ(b), und
n ∉ A und n ∈ B ⇒ Φ(b) > Φ(a), und somit
Φ(a) ≠ Φ(b) in jedem Fall.
Sei A ⊂ ℝ und x ∈ ℝ. Wann ist x ein Häufungspunkt der Menge A?
x ist ein Häufungspunkt der Menge A, falls es für jedes ε > 0 ein ein a ∈ A gibt mit a < |a - x| < ε.
x ist also ein Punkt, in dessen Umgebung beliebig viele Elemente in A existieren, die verschieden von x sind. Dabei spielt es keine Rolle, ob x in A liegt oder nicht.
Sei 𝒜 eine Familie von Teimengen von ℝ. Was muss für die Familie 𝒜 und die Teilmengen A₁ und A₂ gelten, damit der Durchschnitt ∩(A ∈ 𝒜)A nicht leer ist?
Alle A ∈ 𝒜 müssen beschränkt und abgeschlossen sein, die Familie 𝒜 darf nicht leer sein. Weiterhin muss gelten:
(1) ∅ ∉ 𝒜
(2) (A₁ ∈ 𝒜) und (A₂ ∈ 𝒜) ⇒ A₁ ∩ A₂ ∈ 𝒜
Was ist das zentrale Korollar zum Intervallschachtelungsprinzip?
Tipp: Durchschnitt von nichtleeren, abgeschlossenen und beschränkten Intervallen.
Sei für jedes n ∈ ℕ ein nichtleeres, abgeschlossenes und beschränktes Intervall Iₙ = [aₙ, bₙ] gegeben, so dass für alle natürlichen Zahlen m ≤ n die Inklusion Iₘ ⊃ Iₙ gilt. Dann ist der Durchschnitt:
∩(n=1, ∞)Iₙ = [sup{aₙ | n ∈ ℕ}, inf{bₙ | n ∈ ℕ}]
Was ist ein Dedekind-Schnitt?
Für C(0) = {x ∈ ℚ | x > 0} ist jede von unten beschränkte Teilmenge C von ℚ mit der Eigenschaft C = C(0) + C ein Dedekind-Schnitt. Die Menge aller Dedekind-Schnitte wird mit 𝒟 notiert.
Was besagt der Hauptsatz über die Dedekind-Schnitte?
Seien p, q rationale Zahlen. Wir definieren auf 𝒟:
(1) Addition: C(p + q) = C(p) + C(q)
(2) Multiplikation: C(pq) = C(p)C(q)
(3) Ordnungsrelation: p ≤ q ⇒ C(p) ≤ C(q)
Der Hauptsatz besagt nun, dass die Menge der Dedekind-Schnitte 𝒟 zusammen mit den drei oben aufgeführten Eigenschaften sowie dem Nullelement C(0) und dem Einselement C(1) einen vollständig angeordneten Körper bilden.
(Beweis s. Skript S. 72)
Was für eine algebraische Struktur bildet die Menge der Dedekind-Schnitte 𝒟 zusammen mit der Addition?
Eine kommutative Gruppe mit neutralem Element C(0).
Welche zwei Eigenschaften über Dedekind-Schnitte C, D, E ∈ 𝒟 sind in einer kommutativen Gruppe 𝒟 von Dedekind-Schnitten definiert?
Seien C, D, E ∈ 𝒟.
(1) C ≤ D ⇒ C + E ≤ D + E, für alle C, D, E.
(2) C ≤ D oder D ≤ C für alle C, D.
Seien C und D Dedekind-Schnitte. Was ist das Produkt CD? Unterscheide vier Fälle.
(1) Für C(0) ≤ C und C(0) ≤ D: CD = {cd | c ∈ C, d ∈ D}
(2) Für C(0) ≥ C und C(0) ≤ D: CD = - {cd} | c ∈ -C, d ∈ D}
(3) Für C(0) ≤ C und C(0) ≥ D: CD = - {cd} | c ∈ C, d ∈ -D}
(4) Für C(0) ≥ C und C(0) ≥ D: CD = {cd | c ∈ -C, d ∈ -D}
Wie lautet der Satz über die Eindeutigkeit der reellen Zahlen?
Seien (ℝ, ≤) und (𝕊, ≤) vollständige angeordnete Körper. Dann existiert genau eine Abbildung Φ: ℝ → 𝕊, die für alle x, y ∈ ℝ die folgenden Eigenschaften erfüllt:
(1) Additivität: Φ(0) = 0 und Φ(x + y) = Φ(x) + Φ(y)
(2) Multiplikativität: Φ (1) = 1 und Φ(xy) = Φ(x)Φ(y)
(3) Monotonie: x ≤ y ⇒ Φ(x) ≤ Φ(y).
Diese Abbildung ist auch bijektv und folglich ein Isomorphismus zweier angeordneten Körpern.
(Beweis s. Skript S. 75)
