Mengenlehre Flashcards
Einführung in die Mengenlehre.
Welche vier Postulate sind die zentralen Annahmen der naiven Mengenlehre?
(1) Eine Menge besteht aus beliebigen unterscheidbaren Elementen.
(2) Eine Menge ist unverwechselbar durch ihre Elemente bestimmt.
(3) Eine Menge ist nicht Element ihrer selbst.
(4) Jede Aussage A über Elemente einer Menge X definiert die Menge der Elemente in X , für die die Aussage A wahr ist: {x ∈ X | A gilt für x}.
Wie definiert sich die symmetrische Differenz zweier Mengen P Δ Q? Was wäre das Pendant in der Aussagenlogik?
P Δ Q = (P ∪ Q) \ (P ∩ Q)
= {x | x∈ P XOR x ∈ Q} (exklusives Oder)
Sei A eine Familie von Mengen. Wie sind Vereinigung und Durchschnitt der Mengen X in A definiert?
∪(X ∈ A) X = {x | ∃X ∈ A: x ∈ X}
∩(X ∈ A) X = {x | ∀X ∈ A: x ∈ X}
Wann sind zwei Mengen X₁ und X₂ in einer Kollektion A paarweise disjunkt?
Für alle X₁, X₂ ∈ A mit X₁ ≠ X₂: X₁ ∩ X₂ = ∅.
Was ist eine Potenzmenge 𝒫(X) und was ist 𝒫(∅)?
𝒫(X) ist die Menge aller Teilmengen von X. Also für X = {0, 1} wäre 𝒫(X) = {{0, 1}, {1, 1}, {1, 0}, {0, 0}}.
𝒫(∅) ist wiederum ∅.
Was ist eine Indexmenge? Gib ein Beispiel.
Die Menge, deren Elemente zur Nummerierung der eigentlichen Elemente dient.
Als Beispiel die Menge aller xₙ für n ∈ ℕ, also x₁, x₂, …, xₙ, so ist ℕ die Indexmenge.
Was ist das kartesische Produkt zweier Mengen X × Y?
Die Menge aller geordneten Paare (x, y), wobei x ∈ X und y ∈ Y, also:
X × Y = {(x, y) | x ∈ X und y ∈ Y}
Wie lautet das Regularitätsaxiom (auch: Fundierungsaxiom) und wie kann man daraus folgern, dass eine Menge X nicht Element von X, also sich selbst, ist?
X ≠ ∅ ⇒ (∃y ∈ X: (y ∩ X = ∅)).
Es besagt, dass es ein ∈-minimales Element y gibt, so dass wenn y selbst als Menge betrachtet wird, X und y disjunkte Mengen sind. Sei nun X = {y}, so wäre y ∩ X = X ∩ X = ∅. Deshalb kann X nicht Teil von sich selbst sein.
Was ist eine Funktion von X nach Y?
(Auf welche zwei Arten kann man Funktionen behandeln?)
Wie bezeichnet man X und Y?
Eine Funktion f: X → Y ist eine Teilmenge F des kartesischen Produkts X × Y mit der Eigenschaft, dass es für jedes x ∈ X genau ein y ∈ Y mit (x, y) ∈ F gibt:
∀x ∈ X ∃!y ∈ Y : (x, y) ∈ F.
Alternativ: Eine Funktion ist eine Zuordnung y = f(x) und somit: F = {(x, f(x)) | x ∈ X}.
Die Menge X ist der Definitionsbereich und Y der Wertebereich einer Funktion.
Was sind Graph, Argument und Wert einer Funktion?
Graph ist die Menge F = {(x, f(x)) | x ∈ X}.
Ein Element x des Definitionsbereichs X ist das Argument und ein Element y des Wertebereichs Y wird als Wert bezeichnet.
Was ist eine Inklusionsabbildung? Wann wird die Inklusionsabbildung zur Identität?
Eine Inklusionsabbildung ist die Einbettung einer Teilmenge in die höhere Menge. i: A → X, i(a) = a.
Falls die Inklusionsabbildung i: X → X vorliegt, heisst sie Identität (von X).
Was ist eine Einschränkung von einer Funktion f: X → Y auf eine Menge A und was gilt für die Elemente a von A?
Die Verknüpfung der Funktion f mit der Inklusion i: A → X heisst Einschränkung f | A. Da die Funktion f “gleich bleibt” und durch die Inklusion nur der Definitionsbereich auf A eingeschränkt ist (solange gilt: A ≠ X), gilt für die Elemente a auch f | A (a) = f (a) für alle a ∈ A.
Was ist eine injektive Funktion?
Eine Injektion liegt vor, wenn f(x₁) = f(x₂) ⇒ x₁ = x₂ für alle x₁, x₂ ∈ X gilt.
(Für zwei gleiche y-Werte müssen die x-Werte ebenfalls gleich sein, f(x) = x^2 ist zum Beispiel nicht injektiv.)
Was ist eine surjektive Funktion?
Eine Surjektion liegt vor, wenn für jedes y ∈ Y ein x ∈ X mit f(x) = y existiert.
(Die Funktion f(x) = x^2 ist nicht surjektiv, da (sofern f nicht nur auf ℕ und nicht auf ℂ definiert ist) für f(x) = -1 kein x vorliegt).
Was ist eine bijektive Funktion?
Eine Bijektion liegt vor, wenn eine Funktion sowohl injektiv als auch bijektiv ist, d.h. wenn es für jedes x genau ein eindeutiges y gibt und jedes y genau einem x zugewiesen werden kann.
