Axiome der reellen Zahlen Flashcards
Die reellen Zahlen mit Hilfe ihrer Axiome definieren können und ihre grundlegendsten Eigenschaften kennen.
Welche drei Bedingungen muss ein Körper K erfüllen, um ein angeordneter Körper (K, ≤) zu sein?
(1) Linearität der Ordnung: Für alle x, y ∈ K gilt: x ≤ y oder y ≤ x.
(2) Kompatibilität von Ordnung und Addition: Für alle x, y, z ∈ K gilt: x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z.
(3) Kompatibilität von Ordnung und Multiplikation: Für alle x, y ∈ K gilt: 0 ≤ x und 0 ≤ y ⇒ 0 ≤ x * y.
Wann ist ein Element x ∈ K positiv, negativ, nichtpositiv oder nichtnegativ?
Positiv wenn x > 0, negativ wenn x < 0.
Nichtpositiv, wenn x ≤ 0, nichtnegativ wenn x ≥ 0.
Sei (K, ≤) ein angeordneter Körper. Welche 13 Aussagen lassen sich für w, x, y, z ∈ K machen?
(Liste im Skript, S. 43; ohne Beweise, dazu s. Deck “Beweise”)
Tipp: Knappe Stichwörter zu den Aussagen:
(a) Trichotomie
(b) / (l) / (m) Transitivität
(c) Addition
(d) Subtraktion
(e) Negation
(f) Quadratzahlen
(g) Beispiel aus (f)
(h) / (i) / (k) Multiplikation
(j) Inverse Elemente
(a) Es gilt entweder x < y, x = y oder x > y. (Trichotomie)
(b) Falls x < y und y ≤ z, dann gilt auch x < z.
(c) Gilt x ≤ z und y ≤ w, dann gilt auch x + z ≤ y + w.
(d) Es gilt x ≤ y genau dann, wenn 0 ≤ y - x gilt.
(e) Es gilt x ≤ 0 ⇔ 0 ≤ - x
(f) Es gilt x² ≥ 0 und x² > 0, falls x ≠ 0.
(g) Es gilt 0 < 1.
(h) Falls 0 ≤ x und y ≤ z, dann gilt xy ≤ xz.
(i) Falls x ≤ 0 und y ≤ z, dann gilt xy ≥ xz.
(j) Aus 0 < x ≤ y folgt 0 < y⁻¹ ≤ x⁻¹.
(k) Aus 0 ≤ x ≤ y und 0 ≤ z ≤ w folgt 0 ≤ xz ≤ yw.
(l) Aus x + y ≤ x + z folgt y ≤ z.
(m) Aus xy ≤ xz und x > 0 folgt y ≤ z.
Sei K ein Körper. Welche drei Bedingungen muss eine Teilmenge P ⊆ K erfüllen, um als “Positivkegel” definiert zu werden?
(1) Für alle x, y ∈ P gilt x + y ∈ P und xy ∈ P.
(2) Für alle x ∈ K gilt x ∈ P oder -x ∈ P.
(3) -1 ∉ P.
Sei (K, ≤) ein angeordneter Körper. Wie ist die Funktion des Absolutbetrags |•|: K → K auf K definiert?
|x| = x, falls x ≥ 0 und |x| = -x, falls x < 0, für alle x ∈ K.
Was ist das Signum?
Eine Funktion sgn: K → {-1, 0, 1}, gegeben durch:
sgn(x) = -1, falls x < 0.
sgn(x) = 0, falls x = 0.
sgn(x) = 1, falls x > 0.
Welche 8 Aussagen kann man über Absolutbeträge und die Signum-Funktion der reellen Zahlen machen?
(Liste im Skript, S. 46; ohne Beweise, dazu s. Deck “Beweise”)
Tipp: Knappe Stichwörter zu den Aussagen:
(a) Allgemein zu Signum und Betrag
(b) Betrag
(c) Multiplikation von Vorzeichen
(d) Betrag von Inversen
(e) / (f) Ungleichungen mit Beträgen
(g) Dreiecksungleichung
(h) Umgekehrte Dreiecksungleichung
(a) Es gilt x = sgn(x) * |x|; |-x| = |x| und sgn(-x) = -sgn(x).
(b) Es gilt |x| ≥ 0 und |x| = 0 genau dann wenn x = 0.
(c) Es gilt sgn(xy) = sgn(x)*sgn(y) und |xy| = |x||y|.
(d) Ist x ≠ 0, so gilt |x⁻¹| = |x|⁻¹.
(e) |x| ≤ y ⇔ -y ≤ x ≤ y.
(f) |x| < y ⇔ -y < x < y.
(g) |x + y| ≤ |x| + |y|. (Dreiecksungleichung)
(h) ||x| - |y|| ≤ |x - y|. (Umgekehrte Dreiecksungleichung)
Was sagt das Vollständigkeitsaxiom aus und wie nennt man einen angeordneten Körper (K, ≤), für den das Axiom wahr ist?
Seien X, Y nichtleere Teilmengen von K derart, dass für alle x ∈ X und y ∈ Y die Ungleichung x ≤ y gilt, dann gibt es ein c ∈ K, das zwischen X und Y liegt, in dem Sinn, als dass für alle x ∈ X und y ∈ Y die Ungleichung x ≤ c ≤ y gilt.
Trifft dies auf einen angeordneten Körper (K, ≤) zu, so nennt man ihn vollständig angeordnet.
Nenne ein Beispiel für zwei angeordnete Körper (K, ≤), von denen einer vollständig ist und der andere nicht.
Wie nennt man jeden vollständig angeordneten Körper?
Der Körper der rationalen Zahlen ℚ ist z.B. nicht vollständig, obwohl sie angeordnet ist.
Der Körper der reellen Zahlen ℝ hingegen ist vollständig angeordnet und sogar der Name jedes bzw. des einzigen vollständig angeordneten Körpers.
Wie sind ein abgeschlossenes Intervall [a, b], ein offenes Intervall (a, b) und die beiden halboffenen Intervalle (a, b] und [a, b) definiert?
[a, b] = {x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b}
(a, b) = {x ∈ ℝ | a < x < b}
(a, b] = {x ∈ ℝ | a < x ≤ b}
[a, b) = {x ∈ ℝ | a ≤ x < b}
Was sind unbeschränkte Intervalle?
Welche fünf unbeschränkten Intervalle gibt es?
Intervalle, die auf mindestens einer “Seite” nach unendlich verlaufen, folglich:
unbeschränkt abgeschlossen:
[a, ∞) = {x ∈ ℝ | a ≤ x} und (-∞, b] = {x ∈ ℝ | x ≤ b}
unbeschränkt offen:
(a, ∞) = {x ∈ ℝ | a < x}, (-∞, b) = {x ∈ ℝ | x < b} und
(-∞, ∞) = ℝ
Wann ist ein offenes Intervall und wann ist ein geschlossenes Intervall nicht leer?
Offene Intervalle sind nicht leer, wenn a < b.
Geschlossene Intervalle sind nicht leer, wenn a ≤ b.
Was ist die Umgebung / Nachbarschaft eines x ∈ ℝ?
Eine Menge, die ein offenes Intervall enthält, in dem x liegt, wird Umgebung oder Nachbarschaft von x genannt.
Was bezeichnet die δ-Umgebung?
Für δ > 0 wird das Intervall (x - δ, x + δ) die δ-Umgebung für ein x ∈ ℝ genannt.
Für x, y ∈ ℝ, was ist die Distanz von x zu y? Wie könnte das mit der Folgerung (2b) |x - y| = |y - x| zusammenhängen?
|x - y| wird als Abstand oder Distanz zwischen x und y für x, y ∈ ℝ bezeichnet. Die Folgerung (2b) besagt nichts anderes, als dass die Distanz von x nach y gleich der Distanz von y nach x ist.
