Math

Question 1

sinθ, cosθ,

Answer 1

sinθ, cosθ, tanθ = sinθ / cosθ, cotθ = cosθ / sinθ
secθ = 1 / cosθ, cscθ = 1 / sinθ

Question 2

sin²θ + cos²θ
1 + tan²θ

Answer 2

sin²θ + cos²θ = 1
1 + tan²θ = sec²θ
1 + cot²θ = csc²θ

Question 3

sin(-θ)
cos(-θ)
tan(-θ)
cot(-θ)
sec(-θ)
csc(-θ)

Answer 3

sin(-θ) = -sinθ
cos(-θ) = cosθ
tan(-θ) = -tanθ
cot(-θ) = -cotθ
sec(-θ) = secθ
csc(-θ) = -cscθ

Question 4

sin(A ± B) =
cos(A ± B) =

Answer 4

sin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinB
cos(A ± B) = cosA cosB ∓ sinA sinB

Question 5

sin(2A) =
cos(2A) =
tan(2A) =

Answer 5

sin(2A) = 2 sinA cosA
cos(2A) = cos²A − sin²A = 2cos²A − 1 = 1 − 2sin²A
tan(2A) = (2tanA) / (1 − tan²A)

Question 6

مک لارن
e^x =

Answer 6

e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + ⋯ = Σ (xⁿ / n!), n=0 to ∞

Question 7

sin(x) =

Answer 7

sin(x) = x − x³/3! + x⁵/5! − x⁷/7! + ⋯ = Σ ((-1)ⁿ x^(2n+1) / (2n+1)!), n=0 to ∞

Question 8

cos(x) =

Answer 8

cos(x) = 1 − x²/2! + x⁴/4! − x⁶/6! + ⋯ = Σ ((-1)ⁿ x^(2n) / (2n)!), n=0 to ∞

Question 9

ln(1 + x) =

Answer 9

ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − x⁴/4 + ⋯ , |x| < 1

Question 10

tan⁻¹(x) =

Answer 10

tan⁻¹(x) = x − x³/3 + x⁵/5 − x⁷/7 + ⋯ , |x| ≤ 1

Question 11

sin⁻¹(x) =

Answer 11

sin⁻¹(x) = x + x³/3! + (3x⁵)/5! + (5x⁷)/7! + ⋯ , |x| ≤ 1

Question 12

sinh(x) =

Answer 12

sinh(x) = x + x³/3! + x⁵/5! + x⁷/7! + ⋯

Question 13

cosh(x) =

Answer 13

cosh(x) = 1 + x²/2! + x⁴/4! + x⁶/6! + ⋯

Question 14

1 / (1-x) =

Answer 14

1 / (1-x) = 1 + x + x² + x³ + x⁴ + ⋯ , |x| < 1

Question 15

sinh(x) =
cosh(x) =
tanh(x) =
coth(x) =
sech(x) =
csch(x) =

Answer 15

sinh(x) = (e^x - e^(-x)) / 2
cosh(x) = (e^x + e^(-x)) / 2
tanh(x) = sinh(x) / cosh(x) = (e^x - e^(-x)) / (e^x + e^(-x))
coth(x) = cosh(x) / sinh(x) = (e^x + e^(-x)) / (e^x - e^(-x))
sech(x) = 1 / cosh(x) = 2 / (e^x + e^(-x))
csch(x) = 1 / sinh(x) = 2 / (e^x - e^(-x))

Question 16

cosh²(x) - sinh²(x)

Answer 16

cosh²(x) - sinh²(x) = 1

Question 17

sech(x) =
csch(x) =
coth(x) =

Answer 17

sech(x) = 1 / cosh(x)
csch(x) = 1 / sinh(x)
coth(x) = 1 / tanh(x)

Question 18

sinh(2x) =
cosh(2x) =

Answer 18

sinh(2x) = 2 sinh(x) cosh(x)
cosh(2x) = cosh²(x) + sinh²(x) = 2cosh²(x) - 1 = 1 + 2sinh²(x)

Question 19

sinh⁻¹(x) = ?

Answer 19

ln(x + √(x² + 1))

Question 20

cosh⁻¹(x) = ?

Answer 20

ln(x + √(x² - 1)), x ≥ 1

Question 21

tanh⁻¹(x) = ?

Answer 21

(1/2) ln((1 + x) / (1 - x)), |x| < 1

Question 22

(1 + x)^a = ?

Answer 22

(1 + x)^a = 1 + ax + (a(a-1)/2!)x^2 + (a(a-1)(a-2)/3!)x^3 + …

Question 23

حالتهای مبهم حد

Answer 23

0^0
inf^0
1^inf
0inf
infinf

Question 24

f-1(b) moshtagh

Answer 24

1/f’(a)

Question 25

زاویه دو منحنی

Answer 25

tan teta=abs((m2-m1)/(1+m1m2))

Question 26

a^3+b^3 a^3-b^3

Answer 26

(a+b)(a2+b2-2ab) (a-b)(a2+b2+2ab)

Question 27

تصاعد حسابی sn an d

Answer 27

an=a1+(n-1)d sn= n/2(a1+an) sn=n/2(2a1+(n-1)d) d=(an-am)/(n-m)

Question 28

تصاعد حسابی sn q an حد تصاعد حسابی

Answer 28

if abs(q)<1 then lim mishe S=t1/(1-q) sn=t1((1-q^n)/(1-q)) tn=t1*q^(n-1)

Question 29

قدر نسبت تصاعد هندسی q

Answer 29

q=(tn/tm)^(1/n-m) اگر n-m زوج بود میشه مثبت منفی

Question 32

جایگشت n نفر در یک صف دور میز

Answer 32

در یک صف n! دور میز (n-1)!

Question 33

n شی نامتمایز در k گروه متمایز

Answer 33

ترکیب k-1از n+k-1

Question 34

مساحت مثلث

Answer 34

s=(p(p-a)(p-b)(p-c))^0.5 s=0.5absinAB p نصف محیط

Question 35

مساحت چهار ضلعی محاط در دایره

Answer 35

((q-a)(q-b)(q-c)(q-d))^0.5 Q نصف محیط

Question 36

قضیه کسینوس ها

Answer 36

a2=b2+c2-2abcosA

Question 37

قضیه مقدار میانگین

Answer 37

m(b-a)<=f(b)-f(a)<=M(b-a) m<=f'(x)<=M

Question 38

∫ xⁿ dx (n ≠ -1)

Answer 38

(xⁿ⁺¹) / (n + 1) + C

Question 39

∫ e^x dx

Answer 39

e^x + C

Question 40

∫ a^x dx

Answer 40

(a^x / ln(a)) + C, (a > 0, a ≠ 1)

Question 41

∫ sec²(x) dx

Answer 41

tan(x) + C

Question 42

∫ csc²(x) dx

Answer 42

-cot(x) + C

Question 43

∫ sec(x)tan(x) dx

Answer 43

sec(x) + C

Question 43

∫ (1 / (1 + x²)) dx

Answer 43

arctan(x) + C

Question 43

∫ (1 / √(1 - x²)) dx

Answer 43

arcsin(x) + C

Question 44

∫ 1 / √(x² - 1) dx

Answer 44

arcosh(x) + C (for x > 1)

Question 45

مرکز هندسی

Answer 45

x=(انتکرال ایکس اف اکیس)/(انتگرال ایکس) y=یک دوم انتگرال اف ایکس به توان دو تقسیم بر انتکران اف ایکس

Question 46

مرکز هندسی نیم دایره

Answer 46

0 4r/3pi

Question 47

مساحت بیضی محیط بیضی

Answer 47

pi.a.b pi(a+b)

Question 48

هم ارزی a^x

Answer 48

1+xlna

Question 49

x+y+z=1 max xy2z

Answer 49

x=y/2=z

Question 50

xyz=1 min(2x+y+z)

Answer 50

x/2=y=z

Question 51

ضریب رشد

Answer 51

x=x0e^(kt)

Question 52

تابع گاما L برعکس

Answer 52

L(p+1) =∫t^p.e^-t

Question 53

∫t^p.e^-st

Answer 53

L(p+1)/s^(p+1)

Question 54

B(x, y) = ?

Answer 54

B(x, y) = Γ(x) Γ(y) / Γ(x + y)

Question 55

B(x, y) = ∫

Answer 55

B(x, y) = ∫₀¹ tˣ⁻¹ (1 - t)ʸ⁻¹ dt

Question 56

B(x, y) = sin

Answer 56

B(x, y) = 2 ∫₀^(π/2) sin²ˣ⁻¹(θ) cos²ʸ⁻¹(θ) dθ

Question 57

∫ₐᵇ (u - a)ˣ⁻¹ (b - u)ʸ⁻¹ du =

Answer 57

∫ₐᵇ (u - a)ˣ⁻¹ (b - u)ʸ⁻¹ du = B(x, y) (b - a)ˣ⁺ʸ⁻¹

Question 58

r^2=c/(acos^2+bsin^2)

Answer 58

ab<0 هذلولی ab=0 دوخط موازی ab>0 بیضی b>a بیضی قایم

Question 59

sin(z)

Answer 59

coshy.sinx+isinhycosx

Question 60

cos(z)

Answer 60

coshycosx-isinhysinx

Question 61

دایره در عدد مختلط

Answer 61

|z-z0|=r r شعاع

Question 62

|z-z1|+|z-z2|=2r

Answer 62

if |z1-z2|<2r بیضی |z1-z2|>2r تهی |z1-z2|=2r پاره خط واصل z1 z2

Question 63

||z-z1|-|z-z2||=2r

Answer 63

|z1-z2|>2r هذلولی |z1-z2|<2r تهی |z1-z2|=2r دو تا نیم خط

Question 64

|(z-z1)/(z-z2)|=k

Answer 64

k=1 عمود منصف z1 , z2 k>0 , k!=1 دایره آپولونیوس

Question 65

ae^i0=?

Answer 65

a(cos0+isin0)

Question 66

فاصله دو خط متنافر

Answer 66

d=|AB.(u1xu2)|/|u1xu2|

Question 67

فاصله A از خط گذرنده از نقطه B با هادی u

Answer 67

d=|ABxu|/|u|

Question 68

نیمساز زاویه دو بردار u , v

Answer 68

u/|u| + v/|v|

Question 69

حجم متساوی السطوح سه بردار هرم

Answer 69

|u.(vxw)| 1/6.|u.(vxw)|

Question 70

صفحه ای که محورهای مختصات را قطع میکند

Answer 70

x/x0 + y/y0 + z/z0 =1 حجم هرم حاصل 1/6|x0.y0.z0|

Question 71

فاصله دو صفحه موازی

Answer 71

|d-d'|/√(a2+b2+c2)

Question 72

اندازه شتاب توی خم

Answer 72

|a|=(at^2+an^2)

Question 73

مولفه قایم بردار شتاب

Answer 73

k(ds/dt)^2

Question 74

مولفه مماسی بردار شتاب

Answer 74

d^2s/dt^2

Question 75

خم k بر حسب x و y برای خم alpha(t) = (x(t),y(t))

Answer 75

k = |x'y"-x"y'|/((x'^2+y'^2)^3/2)

Question 76

خم برای y=f(x)

Answer 76

k(x) = |y"|/((1+y'^2)^3/2)

Question 77

k(t)

Answer 77

k = |vxa|/|v|^3

Question 78

در نمودار قطبی k(teta)

Answer 78

|r2-2r'-rr"|/((r2+r'2)^3/2)