Chap14 : Calcul vectoriel et produit scalaire dans l'espace

Question 1

→u.→v = ?

Answer 1

||→u|| * ||→v|| * cos(→u;→v)

Question 2

Si →C’D’ est le projeté orthogonal de →CD sur la droite (AB), alors →AB.→CD = ?

Answer 2

→AB.→C’D’

Question 3

Si, dans un repère orthonormal, on a →u(x;y) et →v(x’;y’), alors →u.→v = ?

Answer 3

xx’ + yy’

Question 4

La permutation est-elle vraie pour le produit scalaire ?

Answer 4

Oui

Question 5

∀ vecteurs →u, →v, →w,
→u.(→v + →w) = ?

Answer 5

→u.→v + →u.→w

Question 6

∀ vecteurs →u, →v, et ∀ k ∈ ℝ,
(k*→u).→v = ?

Answer 6

k*(→u.→v)

Question 7

∀ vecteurs →u, →v,
(→u + →v)² = ?

Answer 7

||→u||² + 2*→u.→v + ||→v||²

Question 8

∀ vecteurs →u, →v,
(→u - →v)² = ?

Answer 8

||→u||² - 2*→u.→v + ||→v||²

Question 9

∀ vecteurs →u, →v,
(→u + →v)*(→u - →v) = ?

Answer 9

→u² - →v²

Question 10

Si →u et →v sont orthogonaux, alors…

Answer 10

→u.→v = 0

Question 11

Donnez les formules du théorème d’Al-Kashi pour un triangle

Answer 11

a² = b² + c² - 2bccos(BAC)
b² = a² + c² - 2accos(ABC)
c² = a² + b² - 2ab*cos(ACB)

Question 12

Donnez la formule du théorème de la médiane avec un triangle de sommet A, B, M et I le milieu de [AB]

Answer 12

MA² + MB² = 2*MI² + AB²/2

Question 13

Si une droite a un vecteur normal →n(a;b), donnez une équation de la droite (avec a et b non nuls)

Answer 13

d : ax + by + c = 0 avec c ∈ ℝ

Question 14

Si une droite a une équation de la forme :
d : ax + by + c = 0 avec c ∈ ℝ et a et b non nuls)
Donnez un vecteur normal à cette droite

Answer 14

→n(a;b)

Question 15

Soit d la droite d’équation d : ax + by + c = 0 avec c ∈ ℝ et a et b non nuls
Soit A le point de coordonnées (xA;yA)
Donnez la distance entre le point A et la droite d

Answer 15

Distance = |axA + byA + c| / √(a² + b²)

Question 16

Soit C le cercle de centre Ω(xΩ;yΩ) et de rayon R
Donnez une équation de C

Answer 16

C : (x - xΩ)² + (y - yΩ)² = R²

Question 17

Soit →n(a;b) un vecteur normal à la droite d
Donnez un vecteur directeur à d

Answer 17

→u(-b;a)
En effet, →n.→u = 0

Question 18

Soit →u et →v 2 vecteurs
Donnez →u.→v en fonction de leurs normes (2 solutions)

Answer 18

→u.→v = 1/2[||→u+→v||² - ||→u||² - ||→v||²]
= 1/2[||→u||² + ||→v||² - ||→u-→v||²]
(utiliser l’identité remarquable avec (→u + →v)²)

Question 19

Dans un repère orthonormal, soit le plan P : ax + by + c*z + d = 0 et le point A(α;β;γ) avec a,b,c non nuls
Donnez la distance du point A au plan P

Answer 19

Distance = |aα + bβ + c*γ +d| / √(a² + b² + c²)