Chap12 : Le dénombrement

Question 1

Définition d’une liste

Answer 1

Une liste est une suite ordonnée d’éléments d’un ensemble
Soit E = {a;b;c;d;e;f}
(a;c;b), (c;d), (b), (a;a;b) sont des listes
(a;b;c) et (a;c;b) sont différents

Question 2

Que peut-on dire lorsque dans une liste, les éléments sont 2 à 2 distincts ?

Answer 2

Il s’agit d’une liste sans répétition

Question 3

Si E est un ensemble qui contient n éléments, une liste des n éléments de E sans répétition est ……… de E
Donnez les ……… de E = {a;b;c}

Answer 3

(est) une permutation (de E)
Les permutations de E sont :
(a;b;c), (a;c;b), (b;a;c), (b;c;a), (c;a;b), (c;b;a)

Question 4

Les listes
Si E est un ensemble de n éléments et p un entier naturel donné, combien peut-on faire de listes constituées de p éléments de E ?

Answer 4

n^p listes
Ex : Si on lance une pièce de monnaie 3 fois de suite, on a 8 (2³) résultats possibles

Question 5

Les listes
On doit classer n concurrents sans ex-aequo. Combien y a-t-il de classement ? (Prendre un exemple en fixant n pour trouver plus facilement la réponse)

Answer 5

n! permutations

Question 6

Les listes
Une urne contient n jetons numérotés de 1 à n, on tire successivement p jetons de l’urne mais sans remise. Combien y a-t-il de tirages possibles ? (Prendre un exemple en fixant n et p pour trouver plus facilement la réponse)

Answer 6

n!/(n-p)!

Question 7

Les combinaisons
Dire que l’ensemble F est une partie de l’ensemble E signifie que…

Answer 7

…tout élément de F est un élément de E

Question 8

Les combinaisons
On appelle combinaison de p éléments d’un ensemble E (1 ≤ p ≤ n) …

Answer 8

…toute partie de E qui contient p éléments
On note (n) (“p parmi n”)
(p) (on notera (p pm n) car limitation d’écriture sur ce support)

Question 9

Dénombrer des combinaisons
Soit E un ensemble contenant n éléments
Chaque combinaison de p éléments engendre p! permutations de p éléments
Combien y a-t-il de listes sans répétition de p éléments de E ?

Answer 9

(p pm n) * p! listes sans répétition

Question 10

(p pm n) = ?

Answer 10

n!/((n-p)!*p!)

Question 11

∀ entier n et p tel que 0 ≤ p ≤ n
(n-p pm n) = ?

Answer 11

(p pm n)

Question 12

∀ entier n et p tel que 0 ≤ p ≤ n-1
(p-1 pm n-1) + (p pm n-1) = ?

Answer 12

(p pm n)

Question 13

Binôme du Newton
∀ (a,b) ∈ ℤ², ∀ n ∈ ℕ*,
(a+b)ⁿ = ?

Answer 13

(a+b)ⁿ = Σk=0->n (k pm n)aⁿ־ᵏbᵏ