Bivariate Deskriptive Statistik

Question 1

Korrelation bedeutet einfach:

Answer 1

ein Zusammenhang zwischen zwei Variablen

Question 2

Welche Muster können sich bei Korrelations-Daten ergeben?

Answer 2

1. lineare Zusammenhänge 2. kurvilineare Zusammenhänge

Question 3

Wenn ein Dotplot eine Art Wolke von Testwerten auswirft, bedeutet das…

Answer 3

kein Zusammenhang / keine Korrelation

Question 4

Es gibt zwei Arten der Korrelation

Answer 4

1. positive Korrelation 2. negative Korrelation

Question 5

Wann kann man einen Messwert “hoch” nennen?

Answer 5

Wenn er größer ist als der Mittelwert der Variable

Question 6

Welche sind die drei ersten Schritte bei der Berechnung des Produkt-Moment-Korrelationskoeffizienten?

Answer 6

1. Abweichung vom Mittelwert bei jedem einzelnen Wert (x_i – x_{<span>mittel</span>} ) und (y_i – y_mittel )
2. Bildung des Kreuzprodukts aus beiden Abweichungen
3. Summe aller Kreuzprodukte bilden

_{Das Kreuzprodukt wird gebildet, indem man die Abweichungen miteinander multipliziert.}

Question 7

Wie wird die Summe aller Kreuzprodukte (Schritt drei) genannt?

_{Und wer hat es entwickelt?}

Answer 7

Produkt-Moment

Entwickelt durch Karl Pearson und Francis Galton

(Daher auch: Pearson-Korrelationskoeffizient)

Question 8

Angenommen, das Produkt-Moment (Summe aller Kreuzprodukte) ergibt in etwa null, was bedeutet das für die Korrelation?

Answer 8

Kein Zusammenhang

Question 9

Wenn man das Produkt-Moment durch die Anzahl n aller Merkmalsträger teilt, bekommt man das durchschnittliche Kreuzprodukt.

Wie nennt man dieses noch?

Answer 9

Kovarianz

cov(x,y)

cov( x, y ) = 1/n ⋅ ∑ (x_i −x_mittel) ⋅ (y_i −y_mittel)

Question 10

Warum ist die Kovarianz als Zusammenhangsmaß noch nicht gut geeignet?

Answer 10

Weil sie von den Maßeinheiten abhängig ist

Question 11

Die lineare Veränderung einer Einheit kann die Kovarianz beeinflussen. Was kann man daher über die Kovarianz aussagen?

Answer 11

Die Kovarianz ist nicht invariant gegenüber linearen Transformationen der Variablen

Question 12

Wie erreicht man, dass die Kovarianz als geeignetes Maß zur Korrelation verwendet werden kann?

Answer 12

Man teilt sie durch das

Produkt beider Standardabweichungen

Question 13

Wodurch ist gegeben, dass der Produkt-Moment-Korrelationskoeffizient nicht durch gewählte Einheiten, Größen, etc. beeinflussbar ist?

Answer 13

Die Kovarianz wird durch das Produkt beider Standardabweichungen geteilt.

Dies führt dazu, dass jeweils Zähler und Nenner proportional zueinander sind und alle Veränderungen sich herauskürzen lassen

Der Korrelationskoeffizient hängt somit nur von der Stärke des linearen Zusammenhangs ab

Question 14

Der Korrelationskoeffizient ist gegenüber linearer Veränderungen stabil. Welches Fachwort gibt es dafür?

Answer 14

gegen linearer Veränderungen invariant

Question 15

Ab welchem Korrelationswert gilt ein Zusammenhang als stark?

Answer 15

Nach Cohen (1988)

r | ≈ 0,1 : schwacher Zusammenhang

| r | ≈ 0,3 : mittlerer Zusammenhang

| r | ≈ 0,5 : starker Zusammenhang

Question 16

Welchen Zweck haben z-Werte?

Answer 16

Zwei unterschiedliche Variablen miteinander vergleichbar zu machen

Question 17

Was bedeutet ein negativer z-Wert?

Answer 17

Der Wert liegt unter dem Mittelwert / Durchschnitt

Question 18

was bedeutet ein z-Wert von genau 0?

Answer 18

Der Wert entspricht genau dem Mittelwert

Question 19

Was bedeutet ein z-Wert von +1,5?

Answer 19

Der Wert liegt genau 1,5 Standardabweichungen über dem Mittelwert

Question 20

Wie lässt sich die Formel umstellen, sodass man ihn mithilfe der z-Werte errechnen kann?

Answer 20

Der z-Wert entspricht schon Teilen der Formel für r :

• z*_x = (x - x_mittel) ÷ s_x
• z_{<span>y</span>}* = (y - y_mittel) ÷ s_{<span>y</span>}

Der Korrelationskoeffizient entspricht dem durchschnittlichen Kreuzprodukt (bzw. der Kovarianz) der z-Werte.

Question 21

Was wird im allgemeinen durch den z-Wert bestimmt?

Answer 21

In welchem Ausmaß Personen auf zwei Variablen die gleiche relative Position einnehmen.

Bei einem perfekten Zusammenhang nimmt Variable X die exakt gleicherelative Position wie Variable Y ein

Question 22

“Rezept” für einen Produkt-Moment-Korrelationskoeffizienten mit z-Werten

Answer 22

1. Mittelwerte von x und y bilden
2. Standardabweichung von x und y bilden
3. z-Werte jeder Person für beide Variablen
4. Kreuzprodukt beider z-Werte für jede Person
5. Mittelwert bilden
   (Summe aller Kreuzprodukte durch Anzahl aller Personen teilen)

z-Wert bilden: (x-x_mittel) ÷ s_x

Question 23

Welches Problem könnte es mit sich bringen, dass viele Studien an Universitäten durchgeführt werden?

Answer 23

Die Testteilnehmer sind häufig beinahe ausschließlich Studierende und die meisten anderen Bevölkerungsgruppen fließen gar nicht erst in die Studie ein

Question 24

Bedeutet Korrelation auch automatisch Kausalität?

Answer 24

Nein.

Mathematikkenntnisse korrelieren mit der Körpergröße, sind aber nicht in kausalem Zusammenhang

Question 25

Was gibt die Partialkorrelation an?

Answer 25

wie stark die Korrelation zwischen zwei Variablen ohne den Einfluss einer bestimmten Drittvariable ausgeprägt wäre.

Question 26

Wie lautet die Formel für die Partialkorrelation?

Answer 26

siehe Bild

Question 27

Was ist ein Dichotomes Merkmal?

Answer 27

Ein Merkmal, das nur zwei Ausprägungen annehmen kann

Question 28

In welches Skalenniveau fallen dichotome Variablen?

Answer 28

sie sind ein Spezialfall von nominalskalierten Variablen. Da es gleiche Abstände zwischen Merkmalsausprägungen und Messwerten gibt, ist aber die Voraussetzung für eine Intervallskalierte Variable gegeben. Dadurch lässt sich mit dichotomen Variablen ein Produkt-Moment-Korrelationskoeffizient bilden

Question 29

Wie kann man am einfachsten Korrelation bei einer dichotomen Variable berechnen?

Answer 29

Mit dem Phi-Koeffizienten Oder (wesentlich komplizierter) durch den Produkt-Moment-Koeffizienten

Question 30

Welchen ersten Schritt muss man machen, um den Phi-Koeffizienten berechnen zu können?

Answer 30

Vierfeldertafel anlegen

Question 31

Formel für den Phi-Koeffizienten

Answer 31

(a · d - b · c) ÷ √(Kreuzprodukt)

Question 32

Bei zwei ordinalskalierten Variablen kann man welchen Weg wählen, um die Korrelation zu bestimmen?

Answer 32

Kendalls Tau

Question 33

Gleiche Abstände zwischen verschiedenen Rangplätzen bringen nicht unbedingt gleiche Unterschiede. Um welches Skalenniveau geht es?

Answer 33

Ordinalskalenniveau Erster, Zweiter, Dritter...

Question 34

Nachdem man die ordinalskalierten Messwerte nach Rangfolge angeordnet hat, welchen nächsten Schritt braucht es, um Kendalls Tau zu berechnen?

Answer 34

Wir vergleichen die Messwerte und stellen fest, wo sich die Testpersonen einig sind: **Proversionen** und wo sie gegenteiliger Ansicht sind: **Inversionen** Dies wird für alle Testobjekte weitergeführt

Question 35

Wofür steht in der Formel für Kendalls Tau das *S* ?

Answer 35

Die Differenz zwischen den Proversionen und Inversionen: *S* = *P - I*

Question 36

Formel Kendalls Tau

Answer 36

Question 37

Regressionsrechnung

Answer 37

Auf der Grundlage von Korrelationen die bestmögliche Vorhersage für eine Variable bestimmen

Question 38

Warum kann man Korrelation und Regression als zwei Seiten der selben Medaille ansehen?

Answer 38

Je stärker der Zusammenhang, umso präziser wird sich eine Variable aus der Kenntnis der anderen Variablen vorhersagen lassen (und umgekehrt bei kaum Zusammenhang: kaum Vorhersage möglich)

Question 39

Wozu dienen Prädiktor und Kriterium?

Answer 39

PrädiXtor: Für Vorhersage genutzte Variable KrYterium: Vorhergesagte Variable (Durch und X und Y abgekürzt)

Question 40

Was sagt in der Regressionsrechnung was voraus?

Answer 40

X sagt Y voraus | (Prädiktor, Kriterium)

Question 41

Warum werden bei der Regressionsrechnung die Kriterien vorhergesagt, obwohl alle Y-Werte in einer Stichprobe bekannt sind?

Answer 41

Dieses Vorgehen ist notwendig, damit die *"optimale Vorhersageregel"* bestimmt werden kann

Question 42

Das Ziel der Regressionsrechnung...

Answer 42

von einer Vorhersageregel auf eine neue Stichprobe von Probanden schließen zu können

Question 43

Was bedeutet ein "Deterministischer Zusammenhang"?

Answer 43

eine einwandfreie Korrelation von *r* = 1

Question 44

Wofür wäre die Voraussage der Anzahl der Treppenstufen in einem Hochhaus ein Beispiel? Gegeben, dass jedes Stockwerk gleich viele Stufen hat

Answer 44

Beispiel für einen *Deterministischen Zusammenhang*

Question 45

Welche Formel verwendet man für einen deterministischen Zusammenhang?

Answer 45

y = b · x + a *(y=mx + t)* (Geradengleichung)

Question 46

Was ist der Unterschied zwischen einem *inearen* und einem *stochastischen* Zusammenhang?

Answer 46

ein linearer Z ist *perfekt,* also *r* = 1 ein stochastischer Zusammenhang ist *nicht perfekt*

Question 47

Kann man bei einem stochastischen Zusammenhang eine akurate Vorhersage treffen?

Answer 47

*Nein*

Question 48

Wie nennt man eine Gerade, die annähernd die Korrelation in einem Dotplot darstellen soll?

Answer 48

*Regressionsgerade*

Question 49

Wofür steht in der Statistik das "Dach" auf einem Buchstaben? ŷ, ŵ, Ŵ, Ŷ, ...

Answer 49

Für einen vorhergesagten / geschätzten Wert

Question 50

was gibt die Reihenfolge der Indizes an? ŷ_i = b_yx · x_i + a_yx

Answer 50

mit _yx wird angezeigt, dass die Variable Y ***aus*** X vorhergesagt wird (und nicht X aus Y)

Question 51

Welche sind die Regressionskoeffizienten? *y = bx + a*

Answer 51

Achsenabschnitt *(a)* Steigung *(b)* *(b wird auch Regressionsgewicht genannt)*

Question 52

Wenn der vorhergesagte Wert ŷ bei der Regressionsgerade nicht mit dem tatsächlichen Wert y ähnlich ist, nennt man dies...? Und die Formel lautet:

Answer 52

Vorhersagefehler *e_i* *e_i =* y_i − ŷ_i

Question 53

Wenn ein y-Wert im Graphen über der Regressionsgerade liegt, ist der Vorhersagefehler (*e_i *) ...

Answer 53

positiv (negativ, wenn unterhalb der Gerade)

Question 54

Welches "Kriterium" verwendet man, um durch die Fehler die beste Position für die Regressionsgerade zu finden?

Answer 54

*Kriterium der kleinsten Quadrate* (Summe aller Vorhersagefehler zum Quadrat) = Kleinstmöglicher Wert

Question 55

Welche drei Kennwerte nutzt man, um die Position der Regressionsgeraden zu bestimmen?

Answer 55

1. Mittelwerte der Variablen X und Y 2. Varianz der Variablen X 3. Kovarianz beider Variablen

Question 56

Welche zwei Werte möchten wir berechnen, um die Regressionsgerade zu ermitteln?

Answer 56

**Steigung *b_yx* der Regressionsgeraden:** Kovarianz der Variablen X und Y durch die Varianz der Variablen X dividieren **Achsenabschnitt *a_yx**** * vom Mittelwert Y das Produkt (Steigung *b_yx* und Mittelwert X) abziehen

Question 57

Wie kann man mithilfe des Korrelationskoeffizienten das Regressionsgewicht *b_yx* herleiten?

Answer 57

Die Formeln ähneln sich stark. Man muss nur einen Schritt durchführen, um zum Regressionsgewicht zu gelangen _{Das Verhältnis der Standardabweichungen der Variablen Y und X gibt also an, wie deutlich sich die Steigung} *b*_{yx der Regressionsgeraden vom Korrelationskoeffizienten der beiden Variablen unterscheidet.}

Question 58

Wie wird das Regressionsgewicht *b* bei einer Analyse mit standatisierten *z-*Werten genannt?

Answer 58

standatisiertes Regressionsgewicht ## Footnote *ß*

Question 59

Was gibt das standatisierte Regressionsgewicht *ß_yx* an?

Answer 59

um wie viele Standardabweichungseinheiten sich Variable Y verändert, wenn Variable X um eine Standardabweichung steigt

Question 60

Wie wird das standardisierte Regressionsgewicht *ß* bestimmt?

Answer 60

Bei z-Werten ist die Standardabweichung immer *s_z* = 1 Daher:

Question 61

was gilt bei *z-*standardisierten Werten bzgl. der Steigung *ß/b*?

Answer 61

Bei z-standardisierten Variablen ist die Steigung der Regressionsgeraden identisch mit der Korrelation zwischen den beiden Variablen

Question 62

Wie hoch ist der y-Achsenabschnitt *a_yx* bei Regressionen mit z-standardisierten Werten?

Answer 62

Immer gleich 0 Weil der Mittelwert *z* einer *z-*standardisierten Variablen stets Null ist

Question 63

Inwieweit vereinfacht sich die Formel für die Regressionsgerade bei *z-*standardisierten Werten?

Answer 63

Question 64

Was ist der Regressionseffekt?

Answer 64

"Regression zur Mitte" Mit jedem Durchgang nähern sich Testwerte der Regressionsgeraden an

Question 65

Kann eine Regressionsgerade exakt Ergebnisse vorhersagen?

Answer 65

Nein. Eine Regressionsrechnung ist *immer* fehlerhaft

Question 66

Wie kann man die "Varianzzerlegung" vornehmen?

Answer 66

y_i-y_mittel lässt sich auch folgendermaßen ausdrücken und führt zu größerer Genauigkeit:

Question 67

Bei einer Geraden, die das Kriterium der kleinsten Quadrate erfüllt – bei der also die Summe der quadrierten Abweichungen zwischen vorhergesagten und tatsächlichen Werten minimal wird, ist die Summe der Vorhersagefehler immer ... ?

Answer 67

Das heißt auch, dass der *Mittelwert der Vorhersagefehler e_i* in jeder Regressionsanalyse Null beträgt.

Question 68

Welche beiden Varianzen können wir auf Basis der quadrierten Abweichungen berechnen?

Answer 68

Die Varianz der vorhergesagten Werte *s²_ŷ* und die Varianz der Vorhersagefehler *s²_e*

Question 69

Wie nennt man die Varianz der Vorhergesagten Werte? s²_ŷ Worum handelt es sich dabei?

Answer 69

*Regressionsvarianz* Es handelt sich um die Varianz der Kriteriumsvariablen Y

Question 70

Wie nennt man die Varianz der Vorhersagefehler? s²_e Worum handelt es sich dabei?

Answer 70

*Fehlervarianz* Varianz der tatsächlichen y-Werte um e die vorhergesagten Werte, also um die Regressionsgerade

Question 71

Was ergibt die Summe der *Regressionsvarianz* und der *Fehlervarianz*?

Answer 71

Die Gesamtvarianz der y-Werte

Question 72

Die Regressionsrechnung zielt darauf, die Unter- schiede zwischen Personen in der Kriteriumsvariablen Y möglichst vollständig vorherzusagen

Answer 72

Verstanden?

Question 73

Wofür ist die Gesamtvarianz ein Maß? | (in Regressionsrechnung)

Answer 73

Ein Maß für die Unterschiede zwischen Personen auf der Y-Variable

Question 74

Wofür ist die Regressionsvarianz ein Maß?

Answer 74

Sie gibt an, wie viel Varianz der Y-Variable durch die Regression tatsächlich vorhergesagt werden kann

Question 75

Wofür ist der Determinationskoeffizient ein Maß?

Answer 75

Ein Maß für die Güte der Vorhersage

Question 76

Wie berechnet sich der Determinationskoeffizient?

Answer 76

Er entspricht dem Anteil der Regressionsvarianz an der Gesamtvarianz:

Question 77

Womit ist der Determinationskoeffizient identisch?

Answer 77

Mit dem quadrierten Korrelationskoeffizienten:

Question 78

Inwieweit verändert sich der Determinationskoeffizient, wenn man Prädiktor und Kriterium vertauscht?

Answer 78

Er bleibt gleicht.

Question 79

Was kann der Determinationskoeffizient noch, um bei der Reduktion von Regressionsfehlern hilfreich zu sein?

Answer 79

Der Determinationskoeffizient gibt auch an, um wie viel Prozent sich der Vorhersagefehler verringert, wenn bei der Vorhersage des Kriteriums der Prädiktor berücksichtigt wird.

Question 80

Wie erhält man aus der Fehlervarianz *s_e²* den Standardschätzfehler *s_e *?

Answer 80

Man zieht die Wurzel aus der Fehlervarianz

Question 81

Was gibt der Standardmessfehler *s_e* an?

Answer 81

Der Standardschätzfehler gibt an, wie stark die tatsächlichen Werte um die von der Regressionsgerade vorhergesagten Werte streuen

Question 82

Welche sind die beiden gebräuchlichen Maße für die Güte einer Vorhersage?

Answer 82

1. Determinationskoeffizient 2. Standardschätzfehler

Question 83

Was sagt ein kleiner Wert des *Standardschätzfehlers* aus?

Answer 83

Je kleiner der Standardschätzfehler, desto weniger weichen die tatsächlichen Werte von den vorhergesagten Werten ab und desto genauer ist folglich die Vorhersage.

Question 84

Wie lässt sich durch das Verhältnis aus Kriterium und Prädiktor die Formel des Standardschätzfehlers vereinfachen?

Answer 84

Question 85

Welche Maße in der Regressionsrechnung hängen von der Korrelation zwischen Prädiktor und Kriterium ab?

Answer 85

Regressionskoeffizienten *b_yx* und *a_yx* als auch die Gütemaße der Vorhersage

Question 86

Welche naheliegende Erweiterung der Regressionsrechnung könnten wir anwenden, um ein genaueres Ergebnis zu erhalten?

Answer 86

*multiple Regression* Mehrere Prädiktoren zur Berechnung

Question 87

Das Ziel der multiplen Regression besteht darin, ...

Answer 87

eine Kriteriumsvariable Y auf der Grundlage von *zwei oder mehreren Prädiktoren* (X₁, X₂, ..., X_m) bestmöglich vorherzusagen.

Question 88

Wie lautet die allgemeine Formel der linearen multiplen Regression

Answer 88

Question 89

Welche Gütemaße kommen in der multiplen Regression vor?

Answer 89

1. Standardschätzfehler 2. multiple Determinationskoeffizient 3. multiple Korrelation verwendet

Question 90

Formel multipler Korrelationskoeffizient ## Footnote *R_Y.12​*

Answer 90

Question 91

Was ist das Kriterium der kleinsten Quadrate?

Answer 91

Die Regressionsgerade wird so geschätzt, dass die Summe der quadrierten Abweichung der geschätzten y-Werte *( ŷ_i )* von den tatsächlichen y-Werten möglichst klein ist

Question 92

die Abweichungen der tatsächlichen Werte von den vorhergesagten Werten bezeichnet man als...

Answer 92

**Residuen** z.B. in Residualvarianz Gesamtvarianz = Residualvarianz + Regressionsvarianz

Question 93

Wie lässt sich diese Gleichung zur Berechnung der Gesamtvarianz genauer ausdrücken?

Answer 93

Question 94

Um zu beurteilen, wie gut das Regressionsmodell ist, setzt man die Regressionsvarianz ins Verhältnis zur Gesamtvarianz. Den erhaltenen Wert bezeichnet man als ...

Answer 94

Determinationskoeffizienten ***R²***

Question 95

Wie werden zwei ordinalskalierte Variablen miteinander korreliert?

Answer 95

z.B. Kendall's Tau oder Spearman's Rho

Question 96

wie werden Korrelationsmaße wie Kendall's Tau oder Spearman's Rho noch genannt?

Answer 96

*Rangkorrelationskoeffizienten*

Question 97

Wozu kommt es, wenn bei ordinalskalierten Variablen zweien der gleiche Wert/Rang zugeordnet wird?

Answer 97

*Rangbindungen*

Question 98

Welches der beiden behandelten Rangkorrelationsmaße ist robuster gegenüber Rangbindungen?

Answer 98

Kendall's Tau

Question 99

Welches der beiden behandelten Rangkorrelationsmaße ist weniger robust gegenüber Rangbindungen?

Answer 99

Spearman's Rho

Question 100

Wie nennt man einen perfekten Zusammenhang von 1 noch?

Answer 100

Deterministischer Zusammenhang