9 Orientierungen auf Mannigfaltigkeiten

Question 1

• Orientierter Vektorraum
• pos./neg. orientierte Basis
• kanonische Orientierung von R^n

Answer 1

1. Orientierter Vektorraum
   = Paar (V,O) aus R-VR V und Orientierung O=[µ] auf V
   –
   Orientierung = Äquivalenzklasse von Volumenformen auf dem VR.
   Volumenform auf V: Element µ≠0 aus Alt^n(V,R) ~= R
   μ1 ∼ μ2 <==> λ>0 exist. mit μ2 = λμ1
2. pos./neg. orientierte Basis
   Geordnete Basis positiv orientiert, wenn Volumenform auf Basis positiv.
   –
   (b1, …, bn) geordnete Basis von (V,[μ]) pos. orientiert, wenn μ(b1, …, bn) > 0 (sonst neg. orientiert).
3. orientierungserh. Abbildung
   Invertierbare lineare Abbildung φ: (V, [μV]) → (W, [μW]) zwischen orientierten VR orientierungserhaltend, wenn [φ∗μW] = [μV] (sonst orientierungsumkehrend).
4. kanonische Orientierung von R^n
   Die kan. Orientierung von R^n ist Determinante der Basis.

Question 2

• orientierte Mannigfaltigkeit + Bsp
• Anzahl der Orientierungen
• Möbiusband

Answer 2

1. orientierte Mannigfaltigkeit
   Paar (M, O) aus glatter n-dim Mgf M und Sammlung O der Orientierungen Op der Tangentialräume Tp(M), sodass Atlas A = (φi,Ui)i∈I exist. mit Tp(φi): Tp(M) → R^n orientierungserh. (bezogen auf kan. Orientierung von R^n).
   –
   Beispiel:
   Jede offene Teilmenge U ⊆ R^n orientierbar: Jeden TR
   Tx(U) ∼= R^n mit kan. Orientierung von R^n ausstatten und (idU, U) als Atlas.
2. Anzahl der Orientierungen
   Wenn M zusammenhängend und orientierbar, dann genau zwei Orientierungen.
3. Möbuisband

Question 3

Wann ist eine Mannigfaltigkeit orientierbar? (3)

Answer 3

1. zusammenhängend und einfach zusammenhängend
   => orientierbar
2. zusammenhägend
   orientierbar <==> ^M zusammenhängend
3. parakompakt
   orientierbar <==> besitzt Volumenform
4. -
   orientierbar <==> besitzt Atlas, für den alle Übergangsabbildungen orientierungserh.

–

1. Volumenform einer Mgf.
   M n-dim glatte Mgf. Jedes Element μ ∈ Ω^n(M,R) mit μp ≠ 0 für alle p∈M Volumenform auf M.
2. orientierungserh. Abb.
   (M, OM ), (N, ON ) orientierte Mgfs gleicher Dimension
   Glatte Abbilung φ: M → N orientierungserh., wenn die Tangentialabbildungen Tx(φ): Tx(M) → Tφ(x)(N) in jedem Punkt orientierungserh.

Question 4

(S) Eigenschaften der Orientierungsüberdeckung

Answer 4

1. (S) Eigenschaften der Orientierungsüberdeckung
   glatte Mgf, 2-fache Überlagerung, orientierbar.
2. Orientierungsüberdeckung
   Menge aller Paare aus den Punkten der Mgf und den Orientierungen der entsprechenden Tangentialräume.
   –
   ^M := {(p,O): p ∈ M,O ∈ or(Tp(M))},

Question 5

(Bsp) orientierungserh./-umk. Abbildung

Answer 5

Drehung, Spiegelung