11 Integration von Differentialformen und Satz von Stokes

Question 1

k-Form auf Mgf mit Rand (TR*)

Answer 1

1. k-Form auf Mgf mit Rand
   M n-dim glatte Mgf mit Rand, E endlich-dim R-VR.
   k-Form auf M ist Funktion
   ω: M → Up∈M Alt^k(Tp(M),E) mit ω(p) ∈ Alt^k(Tp(M),E).
   –
   - glatt, wenn für jede Hn-chart (φ,U) Differentialform ωφ = (φ−1)∗ω glatt auf φ(U) im Sinne von D 11.1.
   - Ω^k(M,E) Menge der glatten E-wertigen k-Formen auf M.
   –
   ACHTUNG: Hier hat man Tangentialräume einer Mgf mit Rand.

Question 2

Rand

• Rand einer Mannigfaltigkeit
• Rand einer Mgf ist Mgf
• Orientierung des Rands

Answer 2

M n-dim Mgf mit Rand.

1. Rand einer Mannigfaltigkeit
   Alle Punkte, die von einer Hn-Karte auf den Rand von Hn abgebildet werden.
   –
   - Randpunkte: p∈M mit φ(p) ∈ ∂Hn für (φ,U) Hn-Karte von M.
   - φ(p) ∈ ∂Hn => ψ(p) ∈ ∂Hn für alle Hn-Karten (ψ,V)
   - ∂M Menge aller Randpunkte
2. Rand einer Mgf ist Mgf
   Rand ∂M einer n-dim Mgf M mit Rand ist (n − 1)-dim Mgf
3. Orientierung des Rands O∂
   = Sammlung der Orientierungen der Tangentialräume Tp(∂M) der Randpunkte. Die entsprichen der Orientierungen der Tp(M).
   –
   (M, O) orientierte n-dim Mgf mit Rand (n > 1).
   Orientierung O∂ von ∂M eindeutig bestimmt durch die Tatsache, dass für p∈∂M und jeden nach außen gerichteten Tangentialvektor v1 ∈ Tp(M), Basis (v2,…,vn) von Tp(∂M) genau dann positiv orientiert, wenn Basis (v1,…,vn) von Tp(M) positiv orientiert.

Question 3

• Tangentialbündel einer Mgf mit Rand

- Unterschied TB einer Mgf und TB einer Mgf mit Rand

Answer 3

2. Tangentialbündel einer Mgf mit Rand
M glatte Mgf mit Rand, dann Tp(M) ∼= R^n
--
Isomorphie erhalten wir aus Tangentialabbildung Tφ einer Hn-Karte (φ,U)
Tφ : TU → Tφ(U) = φ(U) × Rn ⊆ Hn × R^n = H2n mit T(φ)|Tp(M) = Tp(φ),
--
TU = Up∈U TpM
Tp(φ): Tp(M) → R^n, [γ] → (φ ◦ γ)′(0).

H2n: We define the tangent bundle of Hn by
T(Hn):=Hn ×Rn =H2n,
considered as a subset of T(Rn) ∼= Rn×Rn. Accordingly, we put Tx(Hn) = Rn for each x ∈ Hn. For a boundary point x ∈ ∂Hn a vector v ∈ Tx(Hn) is called inward (pointing) if v1 < 0 and outward (pointing) if v1 > 0.

3. Unterschied zwischen TB Mgf mit/ohne Rand
   Wenn Rand, dann ist (φ,U) Hn-Karte:
   Tφ : TU→Tφ(U) = φ(U) × R^n ⊆ R^n × R^n = H2n
   Tφ : TU→Tφ(U) = φ(U) × R^n ⊆ Hn × R^n = H2n

Question 4

orientierte Mgf mit Rand

Answer 4

1. orientierte Mgf mit Rand
   Paar (M,O) aus M glatte Mgf mit Rand, O Sammlung von Orientierungen Op von Tp(M), sodass Atlas A = (φi,Ui)i∈I ex. für den TA Tp(φi): Tp(M) → R^n der Hn-Karten orientierungserh.
2. n-dim C^k-Mgf mit Rand
   Paar (M,A) aus Hausdorffraum M und maximalem Hn-Atlas der Ordnung C^k von M
   –
   maximal: Atlas enthält alle Hn-Karten, die mit ihm verträglich sind.
   –
   Hn-Atlas von M der Ordnung C^k: Familie A := (φi, Ui)i∈I paarw. C^k-verträgl. Hn-Karten von M mit Ui∈I Ui = M.
   –
   - C^k-verträgl.: (φ,U), (ψ,V) Hn-Karten von M C^k-verträglich, wenn U∩V =∅ oder
   ψ ◦ φ−1|φ(U∩V ) : φ(U ∩ V ) → ψ(U ∩ V )
   C^k-Diffeom.
   –
   - Hn: abg. linker Halbraum in R^n: Hn:={x∈R^n : x1 ≤ 0}
   - Hn-Karten von M: Paar (φ,U) aus offener Teilmenge U ⊆ M und Homöom. φ: U → φ(U) ⊆ Hn auf offene Teilmenge von Hn

Question 5

• Integral einer n-Form / Funktion

- orientierte Transformationsformel

Answer 5

U,V ⊆ R^n Teilmenge mit dichtem Inneren, E endlich-dim VR

1. n-Form
   ω = fdx1 ∧…∧dxn, (f∈C(U,E)) stetige n-Form, K ⊆ U kompakt. Dann
   ∫K ω := ∫K f dx1∧…∧dxn := ∫K f(x) dx ∈ E,
   (rechtes Integral wird als Vektor-wertiges Lebesgue-Integral interpretiert)
2. Funktion
   f : U → R stetige Funktion mit kompaktem Träger. Dann
   ∫U f dx1∧…∧dxn := ∫supp(f) f(x) dx.
   –
   Träger: Menge aller nicht-Nullstellen. f : U → R Funktion, supp(f) := {x ∈ U : f(x) ≠ 0}– (= kleinste abg. Teilmenge, für die f auf Komplement verschwindet)

3. orientierte Transformationsformel
φ: U → V C^1-Diffeom. orientierungserh. oder -umkehrend, ω stetige n-Form auf V, A ⊆ U kompakt. Dann
∫φ(A) ω = ε ∫A φ∗ω, 
--
ε = 1, wenn φ orientierungserhaltend
ε = −1, wenn φ orientierungsumkehrend

Question 6

11. 3 Satz von Stokes
    - Satz von Stokes (Beweis)
    - Folgerungen, Beispiele, …

Answer 6

1. Satz von Stokes
   ∫(M,O) dω = ∫(∂M,O∂) ω.
   –
   (M,O) orientierte n-dim parakompakte Mgf mit Rand, n > 0, ∂M ausstatten mit induzierter Orientierung O∂. ω (n-1)-Form der Klasse C^1 mit kompaktem Träger.
   –
   (L): Rand ∂M einer glatten n-dim Mgf M mit Rand ist glatte (n − 1)-dim Mgf. M0 glatte n-dim Mgf ohne Rand.
   –
   U ⊆ R^n Teilmenge mit dichtem Inneren U0, E endlich-dim VR:
   - C^k-Funktion: f : U → E, wenn f|U0 C^k-Funktion und alle part. Ableitungen der Ordnung ≤ k stetig auf U fortsetzbar (C^k(U,E) Raum der).
   - Klasse C^k: E-wertige p-Form, die C^k-Funktion ω: U → Altp(Rn,E) ist = ω hat Basisdarstellung ω = ∑I ωI dxI mit ωI ∈ C^k(U,E).