12 Geometrische Strukturen auf Mannigfaltigkeiten

Question 1

Dichte, Volumen:

Dichte, strukturerhaltende Gruppe, Dichten und Volumenformen

Answer 1

V n-dim R-VR.

1. Dichte
   Dichte auf V ist Funktion
   δ : bas(V) → R+ = (0,∞) mit δ(φ.B) = | det(φ) | δ(B)
   –
   - bas(V): Menge aller geord. Basen B=(b1,…,bn) von V.
   - φ.B = φ.(b1,…,bn) = (φ(b1),…,φ(bn)) einfach transitive Wirkung von GL(V) auf bas(V).
2. Strukturerhaltende Gruppe
   VGL(V ) = {g ∈ GL(V ) : |det(g)| = 1}.

Question 2

Metrische Strukturen:

1. quadratische Struktur
   (quadratischer Vektorraum, strukturerh. Gruppe)
2. euklidische Struktur
   (euklidischer Vektorraum, strukturerh. Gruppe, Signatur, (nicht-)entartete symmetrische Bilinearform, Länge eines Vektors, Winkel)
3. lorentzsche Struktur
   (Lorentzscher Vektorraum, strukturerh. Gruppe)

Answer 2

1. quadratische Struktur
   V K-VR, β : V × V → K symmetrischer Bilinearform.
   (V,β) quadratischer Vektorraum
   –
   strukturerh. Gruppe: Orthogonale Gruppe von (V,β)
   O(V,β) := {φ ∈ GL(V ): (∀v,w ∈ V )β(φv,φw) = β(v,w)}
2. euklidische Struktur
   Paar (V,ß) aus endlich-dim R-VR und Skalarprodukt
   –
   Skalarprodukt auf V: nicht-entartete symmetrische Bilinearform β mit Signatur (n, 0)
   –
   Signatur: Für jede nicht-entartete symmetrische Bilinearform β existiert Isometrie κ : (V,β) → (Rp+q, βp,q) (Bem 12.7). Da Paar (p, q) eindeutig bestimmt bei (V, β), nennen wir (p, q) Signatur von β.
   –
   (nicht-)entartete symmetrische Bilinearform
   Symmetrische Bilinearform ß entartet, falls Vektor v∈V{0} existiert mit β(v, w) = 0 für alle w∈V. Andernfall nicht-entartet.
   –
   Länge eines Vektors: ∥v∥ := √β(v, v)
   –
   Winkel: nicht-orientierter Winkel θ zwischen zwei Vektoren v,w≠0: cos(θ) = β(v,w) / ∥v∥ · ∥w∥ (0≤θ≤π)

3. Lorentzsche Struktur
Lorentzscher/Minkowski Metrik ß
Lorentzscher Vektorraum: Paar (V,β)
--
Lorentzsche/Minkowski Metrik: symmetrische Bilinearform auf V mit Signatur (1, d).

Question 3

Symplektische Struktur

symplektischer Vektorraum, symplektische Gruppe*

Answer 3

1. Symplektischer Vektorraum
   V R-VR, ω ∈ Alt2(V, R) nicht-entartete alternierende bilineare Abbildung (symplektische Struktur auf V).
   (V,ω) symplektischer Vektorraum
   –
   Alternierende Form ω ∈ Alt2(V, R) nicht-entartet, wenn ω(v, w) = 0 für alle w ∈ V impliziert v = 0.
2. Symplektische Gruppe von (V,ω)
   Sp(V,ω) := {φ ∈ GL(V ): φ∗ω = ω}
   –
   *Welche Sinn macht es, da mit dem Pullback zu definieren?

Question 4

Komplexe Struktur

komplexer Vektorraum, strukturerh. Gruppe

Answer 4

1. Komplexer Vektorraum
   V R-VR, I linearer Endomorphismus mit I^2 = −1 (komplexe Struktur auf V). I definiert durch (a + ib).v := av + bIv Struktur eines C-VRs.
   (V,I) komplexer Vektorraum
2. Komplexe lineare Gruppe
   Aut(V,I) := {g ∈ GL(V ): gI = Ig}
   –
   GLn(C) := GL(R2n, I), falls V = Cn ∼= R2n mit komplexer Struktur I.(z1,…,zn) = (iz1,…,izn).

Question 5

maximale G-Struktur

Answer 5

1. G-Struktur
   maximale Familie G = (αi)i∈I lokaler Rahmen αi = (Ui,X1 ,…,Xn), die paarweise G-verträglich sind und deren Def.bereiche M überdecken: M = Ui∈I Ui.
   “maximal”: Jeder lokale Rahmen, der mit allen lokalen Rahmen in G verträglich ist, ist in G enthalten.
2. Lokaler Rahmen
   Lokaler Rahmen auf M: offene Teilmenge U ⊂ M mit n-Tupel glatter Vektorfelder (X1, …, Xn) auf U, sodass (X1(p),….,Xn(p)) Basis von Tp(M) für alle p∈U.
3. G-verträglich
   α = (U, X1, .., Xn), β = (V, Y1, . . . , Yn) lokale Rahmen auf M G-verträglich, wenn Transitionsfunktionen θ^βα : U ∩ V → GLn(R) Werte in G annehmen.
   –
   G⊆GLn(R) Untergruppe

Question 6

Riemannsche Mannigfaltigkeit, Lorentzsche Mannigfaltigkeit

Symplektische Mannigfaltigkeit

Answer 6

1. Riemannsche Mgf
   Semi-Riemannsche Mgf (M,g), wenn g Riemannsche Metrik ist.
   –
   Riemannsche Metrik ist semi-Riemannsche Metrik mit Signatur (n,0).
   –
   Semi-Riemannsche Mgf: Paar (M,g) aus M und semi-Riemannscher Metrik g auf M
   -semi-Riemannsche Metrik auf M: Familie (gp)p∈M nicht-entarteter SBLF gp auf Tp(M), sodass für alle Karten (φ,U) von M die Koeffizientenfunktionen
   g_ij^φ : U → R, p → gp(Xi^φ,Xj^φ) glatt sind.
   –
   - Lorentzsche Mgf: semi-Riemannsche Mgf (M,g) bei der die semi-Riemannsche Metrik g eine Lorentzsche Metrik ist.
   –
   Lorentzsche Metrik ist semi-Riemannsche Metrik, bei der die Formen gp Signatur (1,q) (q ≥ 1) haben.
2. Symplektische Mgf
   Fast-symplektische Mgf (M,ω) bei der fast-symplektische Form ω geschlossen (dω = 0).
   –
   - Fast-symplektische Mgf: Paar (M,ω) aus M und fast-symplektischen Form ω auf M.
   –
   - Fast-symplektische Form auf M: ω ∈ Ω^2(M,R) mit ωp ∈ Alt^2(Tp(M),R) nicht-entartet für alle p∈M.

Question 7

(lokale) Isometrie, (lokaler) Symplektomorphismus

Answer 7

1. (lokale) Isometrie, Symplektomorphismus
   - (lokale) Isometrie = (lokaler) Isomorphismus von Or,s(R)-Strukturen
   - Symplektomorphismus = (lokaler) Isomorphismus von Sp2m(R)-Strukturen
   –
   Or,s(R)-Struktur, Sp2m(R)-Struktur
   - Or,s(R)-Struktur auf M mit n = r + s entspricht semi-Riemannscher Metrik mit Signatur (r,s) auf M.
   - Sp2m(R)-Struktur mit n = 2m entspricht fast-symplektischer Form auf M.
2. (lokaler) Isomorphismus von G-Strukturen
   = glatte Abbildung f : M → N, sodass für alle p ∈ M offene Umgebung U existiert, sodass f|U : U → f(U) Diffeomorphismus und lokaler Rahmen α = (U,X1,…,Xn) in G^M, sodass f_∗α = (f(U),f_∗X1,…,f_∗Xn) lokaler Rahmen in G^N.
   –
   Isomorphismus von G-Strukturen = lokaler Isomorphismus von G-Strukturen, der Diffeomorphismus ist.
   –
   G ⊂ GLn(R) Untergruppe, M,N glatte Mgfs mit G-Strukturen G^M, G^N.