3 Tangentialvektoren und Tangentialbündel

Question 1

3. 1 Tangentialvektoren und Tangentialabbildungen (1)
   - Tangentialbündel
   - Tangentialbündel für U⊆R^n offen, Mgf-Struktur auf TU
   - Mgf-Struktur auf TM

Answer 1

M glatte Mannigfaltigkeit, p ∈ M, (φ,U) Karte von M mit p∈U.

1. Tangentialbündel
   Tangentialbündel von M: Disjunkte Vereinigung der Tangentialräume (T(M) := Up∈M Tp(M))
   –
   Tangentialraum von M in p: Menge der Tangentialvektoren in p.
   –
   Tangentialvektor in p: Äquivalenzklasse glatter Kurven γ : I → M (I⊆R mit Null, γ(0)=p).
   γi : Ii → M (i=1,2) äquivalent, wenn (φ ◦ γ1)′(0) = (φ ◦ γ2)′(0).
2. Tangentialbündel für U⊆R^n offen
   U Mgf
   In diesem Fall ist TU = Up∈M Tp(U) =~ U x R^n als offene Teilmenge von T(R^n) ∼= R^2n, da jeder Tangentialvektor einem Vektor in R^n entspricht (jede ÄK besteht aus einem Element)

Question 2

3. 1 Tangentialvektoren und Tangentialabbildungen (2)
   - Tangentialabbildung einer Karte (Bijektion)
   - Tangentialabbildung einer glatten Abbildung
   - VR-Struktur auf TpM
   - Kettenregel für Tangentialabbildungen

Answer 2

1. Tangentialabbildung einer Karte
   T(φ): TU → Tφ(U) ∼= φ(U) × R^n mit TU|TpM = Tp(φ)
   Sammlung der Tangentialabbildungen einer Karte in p.
   –
   Tp(φ): Tp(M) → R^n, [γ] → (φ ◦ γ)′(0).
   –
   p∈M, (φ,U) Karte mit p∈U
2. Tangentialabbildung einer glatten Abbildung
   T(f): T(M) → T(N) mit T(f)|Tp(M) = Tp(f)
   Sammlung der Tangentialabbildungen Tp(f) von f in p
   –
   Tp(f) : Tp(M) → Tf(p)(N), [γ] → [f ◦ γ], linear
   –
   f : M → N glatt, p∈M

3. VR-Struktur auf TpM
Vektorraumstruktur auf TpM, da
Tp(φ): Tp(M) → Rn, [γ] → (φ ◦ γ)′(0)
linearer Isomorphismus.
--
v + w := Tp(φ)−1 (Tp(φ)v + Tp(φ)w) 
λv := Tp(φ)−1 (λTp(φ)v) λ∈R,v,w∈Tp(M). 

4. Mgf-Struktur auf TM
5. Hausdorffraum: (φ,U) Karte von M, T(φ): T(U) → T(φ(U)) ∼= φ(U) × Rn Tangentialabbildung (muss ich mir merken), T(U) = Up∈U Tp(U) Teilmenge von T(M).
   Topologie: Teilmenge O ⊆ T(M) offen, wenn für jede Karte (φ,U) von M, die Menge T(φ)(O ∩ T(U)) offene Teilmengen von T(φ(U)).
   –
6. Atlas: Für zwei Karten (φ,U), (ψ,V) von M, ist T(φ◦ψ−1) = T(φ) ◦ T(ψ)−1 : T(ψ(V ∩U)) → T(φ(U∩V)) glatt. Also ist
   für jeden Atlas A von M, die collection (T(φ),T(U))(φ,U)∈A glatter Atlas von T(M)

Question 3

(D) Keim von f in p, Derivation in p, algebraischer Tangentialraum

Answer 3

M differenzierbare Mannigfaltigkeit, p ∈ M, U offen mit p ∈ U, C∞(M,p) = Up∈U C∞(U) Menge glatter Abbildungen auf U.

1. Auf C∞(M,p), Äquivalenzrelation: f ∼ g, falls eine offene Umgebung U von p in M existiert, sodss f|U = g|U. Äquivalenzklasse fp heißt Keim von f ∈ C∞(M,p) in p.

Menge C∞(M)p := C∞(M,p)/∼ der Äquivalenzklassen induziert algebraische Struktur (durch punktweise Addition und Multiplikation von Funktionen)
fp + gp := (f + g)p und fp * gp := (f * g)p.

2. Lineares Funktional v : C∞(M)p → R heißt Derivation in p, wenn
   v(fp ·gp) = v(fp) · g(p) + f(p) · v(gp) für fp, gp ∈ C∞(M)p.
3. Algebraischer Tangentialraum Talgp(M) von M in p ist die Menge aller Derivationen v : C∞(M)p → R.