6 Überlagerungen

Question 1

zusammenhängend, einfach zusammenhängend

Answer 1

1. zusammenhängend
   = Es existiert keine disjunkte Zerlegung in zwei nichtleere offene Teilmengen.
2. einfach zusammenhängend
   Fundamentalgruppe π1(X,x0) = {x0} (dh, verschwindet) für alle x0∈X.
   –
   Fundamentalgruppe
   π1(X, x0) := Ω(X, x0)/∼ Menge der Homotopieklassen von Schleifen in x0 trägt Gruppenstruktur => Fundamentalgruppe von X bzgl. x0.
   –
   Schleife: Ω(X,x0) := P(X,x0,x0) Menge der Schleifen in x0.
   –
   Homotopieklasse: Äquivalenzklasse von homotopen Wegen
   –
   homotope Wege: Zwei Wege α0, α1 ∈ P(X,x0,x1) homotop (α0 ∼ α1), wenn Homotopie zwischen ihnen existiert
   –
   Homotopie zwischen zwei Wegen α0, α1 ∈ P(X,x0,x1) ist stetige Abbildung
   H : I × I → X mit H0 = α0, H1 = α1 (für Ht(s) := H(t,s)) und H(t,0) = x0, H(t,1) = x1 ∀t∈I.
   –
   X topologischer Raum, I := [0,1], x0,x1 ∈ X.
   P(X,x0) := {γ ∈ C(I,X): γ(0) = x0},
   P(X,x0,x1) := {γ ∈ P(X,x0): γ(1) = x1}.

Wenn X bogenzusammenhängend, dann suffices to check this for a single x0 ∈ X; Exercise 6.4).

Question 2

Überlagerung
(elementar, surjektiv)
(Bsp) Überlagerung

Answer 2

1. Überlagerung
   Stetige Abbildung q : X → Y Überlagerung, wenn jedes y∈Y offene Umgebung U hat mit q−1(U) nichtleere disjunkte Vereinigung offener Teilmengen (Vi)i∈I, sodass Einschränkung q|Vi : Vi → U für jedes i∈I Homöom.
   –
   X, Y topologische Räume.
   –
   U heißt dann elementare offene Teilmenge von X.
   –
   Jede Überlagerung surjektiv per Definition.

Question 3

Weghochhebung, Homotopiehochhebung, Hochhebungssatz

Answer 3

1. Weghochhebung
   Mit Überlagerungen kann man Wege stetig hochheben.
   –
   q: X → Y Überlagerung, γ: [0,1] → Y Weg, x0 ∈ X, sodass q(x0) = γ(0).
   Dann existiert eind. Weg γ~: [0,1] → X mit
   q ◦ γ~ = γ und γ~(0) = x0.
2. Homotopiehochhebung
   Hochhebung homotoper Wege ist homotop.
   –
   Für jede Hochhebung γ~ von γ existiert eindeutige stetige Hochhebung G : I^2 → X von H mit G0 = γ~ und
   Kurve η~ := G1 ist eindeutige Hochhebung von η, mit gleichem Startpunkt wie γ~ und G ist Homotopie von γ~ zu η~.
   –
   I := [0, 1], q : X → Y Überlagerung, H : I^2 → Y Homotopie mit festen Endpunkten γ := H0 und η := H1.
3. Hochhebungssatz
   q : X → Y Überlagerung mit q(x0) = y0, W bogenzusammenhängend und lokal bogenzusammenhängend, f : W → Y Abbildung mit f(w0) = y0. Dann:
   Stetige Abbildung g: W → X mit g(w0) = x0 und q ◦ g = f existiert genau dann, wenn
   π1(f)(π1(W, w0)) ⊆ π1(q)(π1(X, x0)),
   das heißt, im(π1(f)) ⊆ im(π1(q)).
   –
   If g exists, then it is uniquely determined by (6.1). Condition (6.2) is in particular satisfied if W is simply connected.

Question 4

Fundamentalgruppe bestimmen

Answer 4

1. Fundamentalgruppe und Decktransformationen
   Φ: π1(Y,y0) → Deck(^Y,q), Φ([γ]) = φ[γ] Gruppenisomorphismus
   –
   q : ^Y → Y Überlagerung, ^Y bogenzusammenhängend und einfach zusammenhängend, Y lokal bogenzusammenhängend and ^y0 ∈ ^Y, y0 ∈ Y mit q(^y0) = y0. For [γ] ∈ π1(Y,y0) we write φ[γ] ∈ Deck(^Y,q) for the unique lift of q mapping ^y0 to the endpoint ^γ(1) of the lift ^γ of γ starting in ^y0.
2. Existenz einfach zusammenhängender Überlagerung
   X bogenzusammenhängend und lokal bogenzusammenhängend. Dann:
   ^X einfach zusammenhängend genau dann, wenn X semilokal einfach zusammenhängend.
   –
   bei Mannigfaltigkeiten:
   M zusammenhängend => M hat einfach zusammenhängende Überlagerung
3. Decktransformationen
   q: X → Y Überlagerung. Homöomorphismus φ: X → X heißt Decktransformation der Überlagerung, wenn q ◦ φ = q. Dh, φ permutiert die Elemente in den Fasern von q.
   –
   Deck(X, q) Gruppe der Decktransformationen.
   –
   Decktransformationen sind Hochhebungen der Abbildung q : X → Y im Sinne des Hochhebungssatzes 6.18. Wenn x0 ∈ X Basispunkt, dann ist Decktransformation φ eindeutig bestimmt durch φ(x0), wenn X bogenzusammenhängend.

Question 5

(S) Mannigfaltigkeit-Struktur hochziehen/runterdrücken

Answer 5

1. Mgf-Struktur hochziehen
   M zusammenhängend, q: ^M → M Überlagerung => ^M glatte Mgf (q lokaler Homöom)
2. Mgf-Struktur runterdrücken
   Wenn M/Γ hausdorffsch, dann eindeutige glatte Mgf-Struktur (Quotientenabb. q : M → M/Γ lokaler Diffeomorphismus).
   –
   σ : Γ × M → M topologisch freie Wirkung von Γ durch Diffeomorphismen, M/Γ mit Quotiententopologie.
   –
   σ : Γ × X → X, (γ,x) → γ.x Gruppenwirkung topologisch frei, wenn für jedes p∈X offene Umgebung U existiert, sodass (γ.U)γ∈Γ paarw. disjunkt.
   –
   X/Γ Menge aller Bahnen, Γ.x = [x] = {γ.x | γ ∈ Γ} Γ-Bahn von x ∈ X.