5 Integralkurven und lokale Flüsse

Question 1

(D) Integralkurve, Ausdehnung, maximal

Answer 1

X ∈ V(M), I ⊆ R offen mit 0.

1. Differenzierbare Abbildung γ : I → M heißt Integralkurve von X, wenn für alle t ∈ I gilt
   γ′(t) = X(γ(t)).
2. Wenn J ⊇ I Interval, dann heißt Integralkurve η: J → M Ausdrehnung von γ wenn η|I = γ.
3. Integralkurve γ heißt maximal, wenn keine Ausdehnung hat.

Question 2

(D) stetige Kurven und kompakte Teilmengen (Grenzwert)

Answer 2

a < b ∈ [−∞,∞], γ: ]a,b[→ M stetige Kurve. Wir sagen, dass

lim_t→b γ(t) = ∞

wenn für jede kompakte Teilmenge K ⊆ M ein c < b existiert mit γ(t) /∈ K für t > c (dh, γ verlässt jede kompakte Teilmenge von M).
Ebenso definiert man lim_t→a γ(t) = ∞.

Question 3

!(S) Existenz und Eindeutigkeit von Integralkurven

Answer 3

Für jedes VF und für jeden Punkt p auf der MGF findet man eine eindeutige maximale Integralkurve γp : Ip → M mit γp(0) = p.

Wenn a := inf Ip > −∞, dann lim_t→a γp(t) = ∞ und
wenn b := sup Ip < ∞, dann lim_t→b γp(t) = ∞.

Question 4

(D) vollständiges Vektorfeld, (F) kompakte Mannigfaltigkeit (2)

Answer 4

1. Vektorfeld heißt vollständig, wenn alle maximalen Integralkurven auf ganz R (dh, zu jedem Zeitpunkt) definiert sind.
2. Alle Vektorfelder auf einer kompakten Mannigfaltigkeit sind vollständig.

Question 5

(D) lokaler Fluss, Flusslinien, global

Answer 5

Lokaler Fluss auf M ist glatte Abbildung Φ : U → M,
mit
• U ⊆ R × M offene Teilmenge, die {0} × M enthält,
• für alle x ∈ M ist Schnitt Ix := {t ∈ R: (t,x) ∈ U} Intervall mit 0,
• Φ(0,x) = x und Φ(t, Φ(s, x)) = Φ(t+s, x) für alle t,s,x für die beide Seiten definiert sind (Halbgruppeneigenschaft).

Die Abbildungen αx : Ix → M, t → Φ(t, x)
heißen Flusslinien.

Fluss heißt global, wenn U = R × M.

Question 6

(L) Vektorfeld aus lokalem Fluss, Bezeichnung

Answer 6

Φ: U → M lokaler Fluss.

XΦ(x) := d/dt|t=0 Φ(t,x) = α’x (0)

definiert glattes Vektorfeld.

Heißt Geschwindigkeitsfeld oder infinitesimaler Erzeuger des lokalen Flusses Φ.

Question 7

!(S) Satz vom maximalen lokalen Fluss

Answer 7

Jedes glatte Vektorfeld X ist Geschwindigkeitsfeld eines eindeutigen maximalen lokalen Flusses

DX := Ux∈M Ix × {x} und Φ(t,x) := γx(t) für (t,x) ∈ DX,

mit γx : Ix → M eindeutige maximale Integralkurve von X durch x ∈ M.

Question 8

(S) Lie-Ableitung und Lie-Klammer

(K) Kommutativität globaler Flüsse

Answer 8

1. Lie-Ableitung und Lie-Klammer
LX Y = [X, Y]
--
X,Y ∈ V(M).
--
Lie-Ableitung

2. Kommutativität globaler Flüsse
   Die globalen Flüsse vollständiger Vektorfelder kommutieren genau dann, wenn die Vektorfelder kommutieren.
   –
   X,Y ∈ V(M) komplette Vektorfelder. Globale Flüsse ΦX,ΦY : R → Diff(M) kommutieren genau dann, wenn X und Y kommutieren ([X,Y]=0).

Question 9

(L) Flusslinien und Integralkurven

Answer 9

Φ: U → M lokaler Fluss auf M. Dann sind die Flusslinien die Integralkurven des Vektorfeldes XΦ.

Insbesondere ist lokaler Fluss Φ eindeutig bestimmt durch das Vektorfeld XΦ.