7 Differentialformen

Question 1

Pullbacks

Answer 1

1. k-Formen auf M
   φ: M → N glatt, ω ∈ Ω^k(N, E)
   => φ∗ω ∈ Ω^k(M, E), (φ∗ω)p := Tp(φ)∗ωφ(p)
2. k-Form auf U⊆R^n offen
   φ: U⊆Rn → V⊆Rm glatt, ω ∈ Ω^k(V, E)
   => φ∗ω ∈ Ω^k(U, E), (φ∗ω)p := dφ(p)∗ωφ(p), dh
   (φ∗ω)p(v1, …, vk) = ωφ(p)(dφ(p)v1, …, dφ(p)vk).
3. p-lineare Abbildung
   φ: V1 → V2 linear, α: V2^p → W p-linear (W VR)
   => φ∗α V1^p → W p-linear, alternierend, wenn α alt.
   (φ∗α)(v1,…,vp) := α(φ(v1),…,φ(vp)) for v1,…,vp ∈ V1.
4. alternierende p-lineare Abbildung
   p-lineare Abbildung f: Vp → W alternierend, wenn
   f(vσ1,…,vσp) = sgn(σ)f(v1,…,vp) für vi∈V,σ∈Sp,
   - Alt^p(V,W): Raum der alternierenden p-linearen Abb.
   - Alt^0(V,W) := W, Alt^1(V,W) := Hom(V,W), Alt^n(R^n,R) = R
   –
   V, W K-VR

Question 2

2. Differentialformen auf offenen Teilmengen des R^n
   - k-Form (glatt, Menge der, Beispiele)
   - Basisdarstellung, Beispiel
   - äußeres Differential

Answer 2

1. k-Form auf U⊆R^n offen
   = Funktion ω : U → Alt^k(R^n,E), p → ωp : (R^n)^k → E
   –
   glatt, wenn für v1,…,vk ∈ R^n Abbildung U → E, p → ωp(v1,…,vk) glatt ist
   - Ω^k(U,E) VR der glatten E-wertigen
   - VR-Struktur durch punktw. Operationen (ω+η)p :=ωp + ηp, (λω)p :=λωp (p∈U).
   - Ω(U, E) := +_k=0^∞ Ωk(U, E)
   –
   0-Formen: glatte Abbildung f : U → E
   –
   1-Formen: Pfaffsche Formen ω : U → Hom(R^n,E)
2. Basisdarstellung, Basisformen
   Basisdarstellung einer E-wertigen k-Form:
   ω = ∑I ωI dxI mit ωI ∈ C^∞(U, R)
   –
   - I = {i1,…,ik}, 1≤i1 kleiner … kleiner ik≤n
   - ωI
   - dxI
3. äußeres Differential
   dω := ∑I dωI∧dxI = ∑I ∑i ∂ωI/∂xi dxi∧dxI
   –
   ω ∈ Ω^k(U,E), dω ∈ Ω^k+1(U, E)

Question 3

3. Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten (1)
   - k-Form auf M (glatt, Menge der, VR-Struktur)
   - äußeres Differential

Answer 3

1. k-Form auf M
   ω: M → Up∈M Alt^k(Tp(M), E), p → ωp = ω(p) ∈ Alt^k(Tp(M), E).
   –
   glatt, wenn für alle Karten (φ, U) von M Abbildung
   ω(Xi1,…,Xik) : U → E, p → ωp(Xi1(p),…,Xik(p)), i1,…,ik ∈{1,…,n},
   glatt ist (X1,…,Xn∈V(U) entsprechendes Basisvektorfeld).
   –
   k = 0: glatte Abbildungen f : M → E
   k = 1: Pfaffsche Formen ω : T(M) → E, v∈Tp(M) → ωp(v) linear auf jedem Raum Tp(M).

3. äußeres Differential
dω ∈ Ω^k+1(M, E), dω|U := φ∗dω^φ = φ∗d((φ^−1)∗ω)
--
(φ,U) bel. Karten von M
--
ω^φ := (φ^−1)∗ω ∈ Ω^k(φ(U),E)
ω ∈ Ω^k(M, E), (φ,U) Karte von M

Question 4

4. de Rham-Kohomologie (1)

- (D) de Rham-Kohomologie

Answer 4

1. de Rham Kohomologie-Raum einer Mgf
   = Quotienten-VR HdR^p(M, E) := ZdR^p(M, E)/BdR^p(M, E)
   –
   M glatte n-dim Mgf, E endlich-dim VR
   –
   - Raum der geschlossenen p-Formen: ZdR^p(M, E) := {ω∈Ω^p(M, E) : dω = 0}
   - Raum der exakten p-Formen: BdR^p(M, E) := {ω∈Ω^p(M,E) : (∃η∈Ωp−1(M, E)) dη = ω} für p≥1
   –
   p=0: BdR^0(M, E) = {0}. In view of d◦d = 0, all exact forms are closed, i.e., Its elements [α]:=α+BdR^p(M, E) are called cohomology classes.

Question 5

5. Stammfunktionen geschlossener 1-Formen (1)

- drei Fälle (lokal, global, global)

Answer 5

1. Fall: lokal
   Dann folgt aus Geschlossenheit der 1-Form deren Exaktheit, wenn sie auf einer offenen sternförmigen Menge definiert ist.
2. Fall: global
   Ist die Mgf zusammenhängend, erhält man eine exakte Pfaffsche Form, indem man eine geschlossene Pfaffsche Form auf den Überlagerungsraum zurückziehen.
3. Fall: global
   Ist die Mgf zusammenhängend und einfach zusammenhängend, ist eine Pfaffsche Form genau dann geschlossen, wenn sie exakt ist.

–

M zusammenhängende Mgf, E endlich-dim VR.

1. Satz
   Wenn α ∈ Ω^1(M, E) geschlossen, dann existiert zusammenhängende Überlagerung q : ^M → M, sodass q*α exakt. Falls zusätzlich M einfach zusammenhängend, dann α exakt.
2. Folgerung
   M zusammenhängend und einfach zusammenhängend => HdR^1(M, E) = {0}.

Question 6

alt. p-lineare Abbildungen

Bsp: 0, 1, n

Answer 6

p-lineare Abbildung f: V^p → W alternierend, wenn
f(vσ1,…,vσp) = sgn(σ)f(v1,…,vp) (vi ∈ V,σ ∈ Sp)
–
Alt^p(V,W) Raum der
–
Alt^0(V,W) = W, Alt^1(V,W) = Hom(V,W), Alt^n(R^n,W) = W
–
V, W K-VR